第三章 有限元法-1.ppt

第3章 有限元法 3.1 概述 3.1 概述 3.1.2 杆系单元 定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。 3.2 平面刚架的有限元法 杆系单元 分类 桁架单元：桁架中的杆件 刚架单元：刚架中的杆件 区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点传递力和力矩！ 杆系单元的有限元分析 与平面问题和空间问题比较， 基本流程完全相同； 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。 刚架的有限元分析 平面刚架 单元刚度矩阵具有下列特点： 矩阵具有对称性 矩阵具有奇异性 矩阵具有分块性 总刚矩阵具有下列特点： 矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。 矩阵具有奇异性 矩阵具有稀疏性。 总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。 约束条件的处理 位移分量的值为零：置1赋0法 非节点载荷的处理 （1）载荷移置原理 （2）固定端反力和反力矩的计算 平面桁架的有限元分析在整体坐标系下的单元刚度矩阵为： 【例】平面桁架结构中，某单元局部编码依次对应的总体编码为8，6，则单元刚度矩阵中的元素k34应放入总体刚度矩阵[K]中的行 列 平面应力问题：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。 平面应变问题：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可以忽略。 简述平面应力问题和平面应变问题的区别？ (1)应力状态不同：平面应力问题中平板的厚度与长度、高度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向均匀分布，可以认为厚度方向的应力为零。平面应变问题中由于z向尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿z向的应变为零。 （2）弹性矩阵不同：将平面应力问题中的E,就成为平面应变问题的弹性矩阵。 在有限元分析中，为什么要采用半带存储？ (1)单元尺寸越小，单元数越多，分析计算精度越高单元数越多，总刚度矩阵阶数越高，所需计算机的内存量和计算量越大。 (2)总体刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元素带形分布规律。 (3)只存储主对角线元素以及上（或下）三角矩阵中宽为NB的斜带区内的元素，可以大大减小所需内存量。 　　显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示 或 （5-3b） （5-3a） 　　上式(5-3b)称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系； 　　式中，[K](e)称为单元刚度矩阵，它是单元的特性矩阵。对于图5-4所示的平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵[K](e)中的各系数 kst( s, t = i, j ) 的数值，具体方法如下： 　　(1) 假设 ui=１，其余位移分量均为零，即 vi=?iz=uj=vj=?zj=0，此时梁单元如图5-5(a)所示，由梁的变形公式得 图5-5(a) 伸缩： 挠度： 转角： 由上述三式可以解得 根据静力平衡条件 由式(5-3a)解得 　　(2) 同理，设vi=１，其余位移分量均为零，即ui=?iz=uj=vj=?zj= 0, 此时梁单元如图5-5(b)所示，由梁的变形公式得 伸缩： 挠度： 转角： 图5-5(b) 由上述三式可以解得 利用静力平衡条件 由式(5-3a) 解得 　　(3)同理，设，其余位移分量均为零，即 此时梁单元如图5-5(c)所示，由梁的变形公式得 伸缩： 挠度： 转角： 由上述三式可以解得 图5-5(c) 利用静力平衡条件，可得 由式(5-3a)解得 　　剩余三种情况，仿此可推出。最后可以得到平面弯曲梁元的单元刚度矩阵为 这样，便求得式（5-3a）单元刚度矩阵中前三列刚度系数。 可以看出， [K](e)为对称矩阵。 （5-4） (1)设定位移函数按照有限元法的基本思想：首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。三节点三角形单元有6个自由度，可以确定 6个待定系数，故三角形单元的位移函数为 （5-5） 式(5-5)为线性多项式，称为线性位移函数，相应的单元称为线性单元。 上式(5-5)也可用矩阵形式表示，即 式中，{d}为单元内任意点的位移列阵。 （5-6） 　　由于节点 i、j、m 在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式(5-5)。 　　设三个节点的位移值分别为( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，将节 点位移