高等数学3-4.ppt

中值定理与导数的应用 一、单调性的判定法 二、单调区间求法 三、曲线的凹凸性 四、曲线凹凸的判定 五、曲线的拐点及其求法 小 结 作业 P151：4(2,4,5)、9、11、13、14 * 定理 §4. 函数的单调性与曲线的凹凸性 证 应用拉格朗日定理,得 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 解 不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 例2 解 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例3 解 单调区间为 还可以用列表的方式讨论 x + － + y=f(x) 列表： 定理 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 注意:区间内个别点导数为零, 不影响区间的单调性. 例如, 例4 证 证 解 解 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 定理1 证 结论（2）可类似得证. 例5 解 注意到, 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点，可能是拐点． 方法: 例6 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例7 解 例8：利用函数的凹凸性，证明不等式 解 1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 2.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 3.曲线的弯曲方向——凹凸性; 4.曲线上改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法. 思考题 思考题解答 例 练 习 题 * *