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证 假设上述论断不成立, 那末由(1)就有 在该邻域内 这与 所以 类似可证的情形. 假设矛盾, 函数的极限 若定理3(2)中的条件改为 必有 不能! 如 是否 定理3 定理3 (3) 试证 [提示] 仅需在 附近讨论问题, 如限定 即限定在 范围内 讨论问题. 这时 函数的极限 试证函数 证 左、右极限不相等, 故 例 函数的极限 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote). 函数的极限 结论 则直线 例 证 要使 成立. 只要 有 解不等式 函数的极限 * 函数与极限 小结 思考题 作业 函数极限的性质 函数在无穷远点的极限 函数在有限点的极限 第五节 （一） 函数的极限 第一章 函数与极限 用数学语言刻划 无限接近 于确定值A. 函数的极限 一、函数在有限点的极限 1.定义 定义1 设函数 有定义. 记作 或 函数的极限 恒有 在点x0某去心邻域内 注 (1) 定义中的 所以 f (x)有没有极限与f (x)在点x0 是否有定义并无关系. (2) 定义中 标志x接近x0的程度, 也将越小.(3) 不要求最大的 表示 它与 一般地说, 越小, 只要求 存在即可. 有关. 函数的极限 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 函数的极限 作出带形区域 一般说来, 应从不等式 出发, 这个推导常常是困难的.但是, 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 函数的极限 例 证 任 函数的极限 证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式, 函数的极限 例 证 函数在点 函数的极限 处没有定义. 要使 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 函数的极限 两种情况分别讨论! 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 或 或 函数的极限 注 且 常用于判断分段函数当x趋近于 函数的极限 分段点 时的极限. 左、右极限存在, 证 故极限不存在. 例 函数的极限 但不相等, 讨论 的存在性. 二、函数在无穷远点(infinite point)的极限 设对充分大的x, 函数处处有定义. 如果随着x的无限增大, 相应的函数就 无限接近某一常数 A. 由此可引入函数在 无穷远处的极限概念. 以下分别用记号 表示 无限增大的过程. x 趋向于负无穷 x 趋向于无穷 函数的极限 x趋向于正无穷 用数学语言刻划 表示 表示 无限增大. 1. 定义 定义1 记作 或 无限接近、 函数的极限 2. 另两种情形 函数的极限 解 显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故 不存在. 例 讨论极限是否存在? 函数的极限 A x f x = -￥ ? ) ( lim 如果在x的某种趋向下, 并不无限接近 一个常数, 则称: 在x的该种趋向下 例 当|x|无限增大时, 都不无限接近一个常数, 因此 都不存在. 函数的极限 不存在. 函数的极限 图形 完全落在: 总结一下 x的趋向一共有六种:函数的极限函数极限与数列极限相比,有类似的性质, 定理1(极限的唯一性) 定理2(局部有界性) 函数的极限 且证明方法也类似. 三、函数极限的性质 函数的极限 定理3(局部保序性) 定理3推论1 定理3推论2 1. 函数极限的 或 定义; 2. 函数极限的性质 局部保号性; 函数的极限 四、小结 唯一性; 局部有界性; 3. 函数的左右极限判定极限的存在性. 思考题 ( A) 先给定 后唯一确定 ; 极限定义中 与 的关系是(). ( C) 先确定 后给定 ; (D) 与 无关. B (1) ( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一; 函数的极限 (2) 如果与存在,则(). (B)存在但不一定有 (C)不一定存在; (D)一定不存在. (A)存在且 C 函数的极限 作业 习题1-5 (38页) 1.(1)(4) 3. 4. 5. 函数的极限 (2) 证明 证 可取 有 同样有 (自己证). 函数的极限 只要取 便可得更强的结论: 证 (1) 也即 (2) 自己证. 定理3 (1)的证明中, 不论 函数的极限 定理 定理4(函数极限与数列极限的关系) 函数的极限 如果极限 存在, 为函数 的定义域内任一收敛于x0的数列, 那么相应的函数值数列 且满足: 必收敛, 且 证 设 则 有 故对 有 有 即 ★ 注以上定理也适用于其它极限过程 等(包括单侧极限), 其结论只 需根椐其极限过程, 的自变量范围. 改动使不等式成立 和 函数的极限 定理3(局部保号性) 证 (1) 设A0, 取正数