线性代数第10讲36279.ppt

§4.2 向量组的线性相关性 §4.2 向量组的线性相关性庖丁解牛 《庄子·养生主》庖丁为文惠君解牛。手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于《桑林》之舞，乃中《经首》之会。　　文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”　　庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大？乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志；善刀而藏之。”　　文惠君曰：“善哉！吾闻庖丁之言，得养生焉。” 启示： 对“道”的不懈追求，追求的过程充满乐趣。 一切事物不管是何等复杂，都有其自身规律，循其规律，不断探索，反复实践，积累经验，终能 “游刃有余”。小结 概念：线性相关，线性无关. 性质: 定理1 向量组A:a1? a2am线性相关?R(A) m;线性无关?R(A)?m. 定理2 A? a1am线性相关?B? a1am? am?1线性相关;反之? 向量组B线性无关?向量组A也线性无关? (2)m个n维向量组成的向量组A ?若 nm? A线性相关;特别地? n?1个n维向量一定线性相关? (3)A? a1? a2am线性无关? B? a1? a2am? b线性相关b必能由A线性表示? 且表示式是唯一的? 探索发现型思考题 用一句话回答问题（不超过15个字）： 两个m个方程n个未知量的线性方程组同解的充要条件是什么？ 两个不同方程个数n个未知量的线性方程组同解的充要条件是什么？ 作业 P107-108 5.6. 9.11(2).15.19 上页 下页 铃 结束 返回 首页 补充例题 上页 下页 铃 结束 返回 补充例题 首页 向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使 k1a1?k2a2kmam?0? 则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果不存在不全为零的数k1? k2km? 使k1a1?k2a2kmam?0. 则称向量组A是线性无关的.上页 下页 铃 结束 返回 补充例题 首页 向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使 k1a1?k2a2kmam?0? 则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关? 换言之,给定向量组A? a1? a2am? 若k1a1?k2a2kmam?0, 必有k1=k2=???= km=0,则称向量组A是线性无关的.向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使 k1a1?k2a2kmam?0? 则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关显然有(1)含零向量的向量组必线性相关(2)一个向量a线性相关 ? a?0(3)两个非零向量a1? a2线性相关 ? a1?ka2(即对应分量成比例)? 下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使 k1a1?k2a2kmam?0? 则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关向量组A? a1? a2am(m?2)线性相关?向量组A中至少有一个向量能由其余m?1个向量线性表示这是因为: 如果向量组A线性相关? 则有 k1a1?k2a2kmam?0? 其中k1? k2km不全为0? 不妨设k1?0? 于是a1??(1/k1)(k2a2kmam)? 即a1能由a2am线性表示? 下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使 k1a1?k2a2kmam?0? 则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关向量组A? a1? a2am(m?2)线性相关?向量组A中至少有一个向量能由其余m?1个向量线性表示这是因为: 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m?1个向量线性表示? 即有?1? ?2m?1? 使 am??1a1??2a2m?1am?1? 于是1a1??2a2m?1am?1?(?1)am?0? 因为?1? ?2m?1? ?1不全为0? 所以向量组A线性相关? 下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A? a1? a2am? 如果存在不全为零的数k1? k2km? 使