线性代数2-237227.ppt

作业 习题二1）2529 极大无关组定义设是向量组的 一个部分组。若 （1）线性无关；（2）每个（ j = 1, 2, …, m）均可由线性表出， 则是向量组的一个极大线性无关部分组，简称为极大无关组。 例 一个线性无关的向量组的极大无关组即为这个向量组自身。 例 对于向量组，，， 由构成的子向量组为一个极大无关组。不难验证， 由构成的子向量组也是一个极大无关组。注意: 由上面的例子可知，向量组的极大无关组不唯一。 思考: 一个向量组的不同极大无关组之间的关系？ 性质 向量组与其任一极大无关组都等价。 推论 一个向量组的任意两个极大无关组都等价，因此一个向量组的极大无关组都含有相同个数的向量。 （原因？）定义 一个向量组? 1, ? 2, …, ? m 的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为秩{? 1, ? 2, …, ? m } 或 r{? 1, ? 2, …, ? m }。例 4元基本向量组 的秩为___。 例 向量组的秩为___。 例 向量组的秩为___。 例 等价的向量组有相同的秩。定理 （1）向量组 ? 1, ? 2, …, ? m 线性相关的充分必要 条件是：秩{? 1, ? 2, …, ? m } m。性质 （1）设向量组 ? 1, ? 2, …, ? m 的秩为 r，则 ? 1, ? 2, …, ? m 中任意 r 个线性无关的向量都是向量组 ? 1, ? 2, …, ? m 的一个极大无关组。 （2）设向量组 ? 1, ? 2, …, ? m 的秩为 r，则 ? 1, ? 2, …, ? m 中任意 r+1 个向量一定线性相关。 （2）向量组 ? 1, ? 2, …, ? m 线性无关的充分必要条件是：秩{? 1, ? 2, …, ? m } = m。定理 若向量组可由向量组线性表出，则 秩{}秩{}证明 只需证明向量组的极大无关组包 含的向量个数不大于向量组的极大无关组 包含的向量个数。设是的极大无关组，则可由线性表出。设是的极大无关组，则可由线性表出。 又可由线性表出，故可由线性表出，而线性无关， 所以。▌例 向量组的任意一个线性无关部分组都可扩充为整个向量组的一个极大无关组。（原因？）证明 设 秩= r，任取 的一个极大无关组，则 可由线性表出。例 已知向量组。假设每 个（j = s +1, s+2, …, m）均可由线性 表出，则 秩{}=秩{} 已知可由线性表出， 故由传递性得亦可由 线性表出。于是，每个( j =1, 2, …, m ) 均可由线性表出。又线性无关，所以也是的一个极大无关组。 于是秩{} = r。 ▌ 二、矩阵的秩 例 考虑阶梯形矩阵 其行向量组为 因为是行向量组的极大无关组，故得 A的行向量组的秩= r =秩(A) 结论 阶梯形矩阵的秩等于其行向量组的秩。 例 设A是矩阵。对A按行分块， 对 A作一次初等行变换得到矩阵 因为可由线性表出，故 秩 秩 即 的行向量组的秩的行向量组的秩 又 故 的行向量组的秩的行向量组的秩 结论 矩阵的初等行变换不改变行向量组的秩。定理 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其 列向量组的秩。 例 判断向量组 的线性相关性。 解 分别以向量为行构造矩阵 所以，秩(A) = 2，即向量组的秩为2。由此 得线性相关。 ▌定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是：A的行（列）向量组线性无关。 例 已知向量组 证明：线性无关。 证明 令 经验证 A满秩，所以线性无关。 更进一步矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性相关性 解 例 已知向量组 求其秩及一组极大无关组。 令 设 （阶梯形） （1） 设 有 r 个非零行， 秩 则 (2) 设 的主元（各非零行的首非零元）在第 列，则 是一个极大无关组 注意：该例题给出了求一个给定的向量组的极大无关组的一种方法。例 已知向量组求向量组的秩及其一个极大无关组。 解 分别以向量为列构造矩阵 因为 所以，向量组的秩为3，且是一个极大无关组。 ▌ 则 定理 矩阵， 是 矩阵， 是 设 B A { , AB ） 秩（ } A min ） 秩（ ） 秩（ B 证例 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，并且AB = I， 则B的列向量组线性无关。 证明 （法一）因为 AB = I，所以 秩(B) ≥ 秩(AB) = 秩(I) = m 又 秩( Bn?m ) ≤ min{ n ，m } ≤ m 故 秩(B) = m，即 B的列向量组的秩为 m，恰等于列 向量的个数，于是 B的列向量组线性无关。 （法二）见教材第96页。 思考： 在上述例