弹性力学-011.ppt

计算系统的总余能： （a） 外力余能： ∵杆右端支座无位移，故有 形变余能： 梁的形变余能 （仅考虑由梁的 内力弯矩引起的）： 梁的静力可能内力场（弯矩方程）： 由最小余能原理，确定未知力RB、RC ： 计算系统的总余能： （a） （b） （c） 求解得 ： 将式（e）代入式（a）: （e） （a） 有: §11-8 应力变分法应于扭转问题 1. 扭转应力变分方程 等截面直杆的扭转问题中，存在应力函数? ，横截面剪应力可表示为： 形变余能 及其变分 式中：函数? 为 Prandtl 应力函数。 将其代入形变余能计算式： ∵应力函数? 仅为x、y 的函数，可将上述积分变为： 其中：L为杆的长度；G为剪切弹性模量。 （a） 外力的功及其变分扭转杆件侧面上无外力，因而不存在面力的功。在两端作用有方向相反的两扭矩 M，两端的相对转角为：KL ，则面力在位移上的功为：由上一章的结果： 得外力的功为： 外力的功的变分为： （b） 扭转变分方程 将式（a）（b）代入变分方程，有： W=MKL 扭转变分方程 将式（a）（b）代入变分方程，有： 或： （c） 以上两式即为扭转问题的变分方程或最小余能原理。 （1）式（c）中： —— 扭转问题的总余能 说明： （2）式（c）中的应力函数 ? 已满足了两端的边界条件。 2. 应力变分方程 基本思想： 在满足平衡微分方程和应力边界条件的可能应力中，寻求最接近于精确解的解。 （11-18） —— 应力变分方程， 也称Castigliano变分方程。 基本形式： 表明： 形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。 最小余能原理： 在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。 —— 最小余能原理 —— 总余能； —— 外力余能； 实际存在的应力应满足： （1）平衡方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件； （4）位移边界条件。 （1）平衡方程； （2）应力边界条件； （3）应力变分方程。 可见： 应力变分方程 （1）相容方程； （2）位移边界条件。 与弹性力学基本方程的等价性： 特别当位移边界为固定边界时， 应力变分方程等价于相容方程，有： 最小余能原理 应力变分方程 §11-6 应力变分法 1. 应力分量的设定 —— 以应力为未知量的近似解法 平衡微分方程； 应力分量设定的要求满足： 应力边界条件。 帕普考维奇应力分量设定： （11-19） 其中： （1）Am 为互不相关的 m 个系数； 平衡方程与应力边界条件的设定函数； 为满足 （2） （3） 为满足 “没有面力与体力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数； （8-1） 平衡 微分方程 （8-5） 应力边界条件 满足： 则 平衡微分方程： 应力边界条件：此时应力的变分仅由系数 Am 的变分实现。 2. 应力变分法方程 （1）弹性体的位移边界为固定边界 此时，应力变分方程为： 将设定应力分量代入形变余能表达式： 将其代入应力变分方程，有： 由于 ?Am为互相独立，且任意，有： （11-20） 由此得到 m 个线性方程， 可确定m个系数 Am。 （2）弹性体具有给定的非零位移边界条件 或应力边界条件问题： （2）弹性体具有给定的非零位移边界条件 此时，应力变分方程为： （a） 式中： u、v、w 为已知函数； 而非零位移边界条件上的面力变分： 可由边界上应力应满足的条件确定： （b） 将设定的应力分量式（11-19）代入上式，并积分式（a）的右边，得： （c） 式中：Bm 为积分所得的常数。 而式（a）左边为： （d） 由式（c）、（d）、（a）可得： 由于 ?Am为互相独立，且任意，所以有： （e） 式（c）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出 m 个系数 Am， 将系数 Am代回应力分量设定式（11-19），即得所求的应力。 说明： （1）如果无位移被给定，且不等于零的边界， （2）要求设定的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。 但若某些问题存在应力函数， 由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。 即：系统无位移边界， 则所有的 Bm 都为零，此时式（e）简化为： §11-7 应力变分法应用于平面问题 1. 应力函数的设定 对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数??，使得应力表示为： （a）根据问题的应力边界条件、及应力分量与应力函数?? 的关系，可将应力函数?? 设为： （11-21） 其中： Am 为互不相关的 m 个系数； ??0 给出应力分量实际满足： 应力边界条件； ??m 给出应力分量满足：无面力的应力边界