系统辨识第六章.ppt

1设描述系统的差分方程为（无噪声）其中， 为输入量， 为输出量，不相关随机噪声 .由§6-3节，模型方程可写成: 2. AIC准则与F检验法的相同之处§6-3 模型残差方差估计定阶次法前两节介绍的Hankel矩阵判秩定阶次法及 行列式比定阶次法，在进行模型参数估计之 前就可以预先确定模型的阶次，阶次的辨识 与参数辨识方法无关。本节讨论的模型残差方差估计定阶法，则 需要在获得模型参数估计值后进行，先求出 模型残差序列，然后用统计假设检验法对残 差方差进行显著性检验，以确定模型阶次。 这种阶次辨识方法与参数辨识方法密切相关。 一.残差方差分析设单入-单出系统的差分方程为： 其中，为系统输入，为系统量测输出，为均值零、方差的不相关随机噪声，且 因而 其中：为无噪声时系统输出为模型残差1. 模型参数估计将及表达式代入及表达式 之中，得 令,有以及因为，故有代入前两式，得 若令 以及 量测矩阵 因而，量测模型方程为 在最小二乘意义下，参数 的估计值为模型参数估计 式中， 表示模型的估计阶次， 表示系统的真实 阶次。2. 模型输出的残差方差 模型输出残差为 因为令输出估计误差则模型输出残差可写成 式中， 表示系统模型的真实参数向量。显然，模型的输出残差的方差可表示为3. 残差方差的性质引理：设矩阵 和 存在概率极限，且和 的维数不随k的增加而变化，应用Frechet定 理，可得根据上述引理，以及 模型输出残差方差的概率极限可表示为：因为为零均值白噪声，故由Frechet定理于是，残差方差的概率极限可简化为： 其中 因为参数估计值有下列性质：且当因而 因而也有 于是，可得 可见，当估计阶次真实阶次 时候，输出残差 方差趋于固定值，即噪声方差,有 这一性质可用下图表示4. 残差方差估计定阶利用残差方差上述性质，令估计阶次 从1开 始，逐一增加，观察残差方差的变化。若数 据长度 充分大，则随 递减，减至某一固定 值时，对应。然而，实际系统的残差方差变化趋势往往 不可能象曲线1那样，出现明显拐点，而是象曲线 2那样缓慢下降，使准确定阶困难。必须采用统计 F检验法，对残差方差进行显著性检验。 二. 统计F检验定阶法 1. 统计F检验问题当阶次估计值 从 增加到 时，检验残差 方差较是否有显著下降？若样本（数据） 长度 充分大，通过显著性检验以判定模型阶次。 2. 统计F检验方法辨识方法本身就是一种统计方法。因此数理 统计学中的F检验，是定阶中常用的一种统计检 验法。1968年,瑞典学者Astrom业已证明:对于构造 的如下统计量：式中， 为样本长度，为阶次估计值，和为对应的残差方差，记作 其中， 和表示模型阶次为 和 时的最小二 乘参数估计值。Astrom证明了，若噪声正态分布：的 随机序列，零假设成立，则和是互为独立的随机变量；当 充分大时， 统计量t渐近地服从自由度为及的F分 布，表为F分布值表可参见《过程辨识》，方崇智，萧德云，p556 3.统计F检验定阶对于SISO系统模型阶次辨识问题，阶次估值是逐一增加的，故统计量t可表示为 若取风险水平为 ，即概率由分布值表：3.00 3.18 50 3.32 30 3.49 20 4.10 10 3.00 1000 3.19 48 3.33 29 3.52 19 4.26 9 3.01 500 3.20 46 3.34 28 3.55 18 4.46 8 3.03 300 3.21 44 3.35 27 3.59 17 4.74 7 3.04 200 3.22 42 3.37 26 3.63 16 5.14 6 3.06 150 3.23 40 3.39 25 3.68 15 5.79 5 3.07 125 3.24 38 3.40 24 3.74 14 6.94 4 3.09 100 3.26 36 3.42 23 3.81 13 9.55 3 3.11 80 3.28 34 3.44 22 3.89 12 19.0 2 3.15 60 3.29 32 3.47 21 3.98 11 200 1零假设,根据样本长度 ,风险水平，阶次估计 ，查分布表，得临界值如：取，查表得。若 零假设成立，表示和比较， 不会有显著下降，这时统计量值比较小， 故系统模型阶次应取。对于置信度为95%的F分布临界值，亦可采下 列近似计算公式算出，其精度达到。 例6-3 设二阶系统的差分方程为 其中，输入是幅值为1的M序列，为独立 同分布的正态随机序列：，数据总长度, 假设模型阶次 为1,