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§4 对换 一、对换与相邻对换 三、n阶行列式的等价定义 §5 n阶行列式的性质 性质2: 互换行列式的两行(列)，行列式变号. 作 业 P26: 4(1)(4)，5(2)，6(2)(3)，8(2)(4). * 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行(列)展开 §7 克拉默法则在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动， 这种构成新排列的过程叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 二、对换与排列的奇偶性推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 原有定义1：n阶行列式上述3个定义今后分别称为n阶行列式的定义1,定义2,定义3.事实上,前两 个定义都是定义3的特例. 定义2 n阶行列式也可定义为 定义3 n阶行列式还可定义为 分别是列标排列和行标排列. 转置行列式：称下述行列式中后者为前者的转置行列式.(事实上互为转置) 性质1: 行列式与它的转置行列式的值相等. 证明: 记D的转置行列式为 ,则 ,于是 证毕. 注: 由性质1可知，行列式中的行与列具有同等的地位.证明：设行列式 是由行列式D交换第i,j两行得到的, 则 证毕. 时， 时， . 于是 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式的值等于零. 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是 两数之和： 性质3 行列式某一行(列)的所有元素都乘以常数k,等于用k乘以这个行列式. 推论 行列式某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零. 则该行列式等于下列两个行列式之和：性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个数然后加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变. 例如以数k乘以第j列,再加到第i列上去,有: (2)利用性质5易证上述右式等于左式; 注:(1)上述使用性质6得到的新行列式中,变化的是第i列,而第j列不变; (3)性质2,3,6介绍了行列式关于行和列的三种运算,记为 和 计算行列式常用的一种方法就是利用这 些运算将行列式化为三角行列式,再求值. 例题：求行列式的值 例1.5.1 求下列4阶行列式的值 分析:例1.3.1中用定义已经求得该行列式的值,为解法1,现寻求其它解法. 注意到借助性质6容易将该行列式转化为次对角的上三角行列式,于是有 解法2: 例1.5.1 求下列4阶行列式的值 分析:注意到该行列式右下角的四个元素均为0,如果这四个零元素处在右 上角,就构成分块下三角行列式,可以降阶为两个二阶行列式之积. 于是想到借助性质2容易将该行列式转化为分块下三角行列式,即有 解法3: 例1.5.2 求下面4阶行列式的值： 解:注意到第2列的元素较简单,故从这一列着眼,利用性质设法化出主对角 的上三角行列式. 例1.5.3 求下面4阶行列式的值： 解: 注意到各行的元素之和相等,故先将各行加到第一行,再对第一行提取 公因子,然后对列用性质6： 注：此题也可以先将各列元素加到第一列，提公因子，再对行用性质6. 例1.5.4 求行列式的值： 解: 注意到元素是逐行变化的,故从第4行开始,后行减去前一行： 注：使用性质6时的次序应书写准确,次序不同将直接影响运算结果. 例1.5.5 计算2n阶行列式： 解: 依次换行2n-2次： 再依次换列2n-2次,得到： 注：递推时,注意幂指数与所乘的行列式阶数间的关系.习题8(4)与此类似. 练习1.5.1 求下面4阶行列式的值： 解: 注意到各列的元素之和相等,故先将各列加到第一列,再对第一列提取 公因子,然后对行用性质6： 本次课基本要求1.理解n阶行列式的3个等价定义；2.熟记行列式的性质1-6及推论；3.注意总结例题中体现的行列式计算的常用技巧.