北邮最优化课件14整数规划.ppt

最优化理论 * 第5节 指派问题 在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务不同(或所费时间)，效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最小)。这类问题称为指派问题或分派问题(assignment problem)。 * 第5节 指派问题 例7 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如表5-7所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少? 表5-7 * 第5节 指派问题 类似有：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上分别完成的问题；有n条航线，怎样指定n艘船去航行问题……。对应每个指派问题，需有类似表5-7那样的数表，称为效率矩阵或系数矩阵，其元素cij＞0(i,j=1,2，…，n)表示指派第i人去完成第j项任务时的效率(或时间、成本等)。解题时需引入变量xij；其取值只能是1或0。并令  * 第5节 指派问题 当问题要求极小化时数学模型是： ① ② ③ ④ * 第5节 指派问题 约束条件②说明第j项任务只能由1人去完成；约束条件③说明第i人只能完成1项任务。 满足约束条件②～④的可行解xij也可写成表格或矩阵形式，称为解矩阵。 如例7的一个可行解矩阵是  显然，解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1。但这不是最优解。 * 第5节 指派问题 指派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例；即n=m,aj=bi=1 当然可用整数线性规划，0-1规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯形法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法。 指派问题的最优解有这样性质，若从系数矩阵(cij)的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵(bij)， 那么以(bij)为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求得的最优解相同。  * 第5节 指派问题 利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多0元素的新系数矩阵，而最优解保持不变，在系数矩阵(bij)中，我们关心位于不同行不同列的0元素，以下简称为独立的0元素。 若能在系数矩阵(bij)中找出n个独立的0元素；则令解矩阵(xij)中对应这n个独立的0元素的元素取值为1，其他元素取值为0。将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小。 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。也就得到了原问题的最优解。 * 第5节 指派问题 以下用例7来说明指派问题的解法。 第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素。(1) 从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素；(2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。例7的计算为 * 第5节 指派问题 行列都有零元素 * 第5节 指派问题 第二步：进行试指派，以寻求最优解。为此，按以下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了0元素；但需找出n个独立的0元素。若能找出，就以这些独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。当n较小时，可用观察法、试探法去找出n个独立0元素。若n较大时，就必须按一定的步骤去找，常用的步骤为： * 第5节 指派问题 (1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。这表示对这行所代表的人，只有一种任务可指派。然后划去◎所在列(行)的其他0元素，记作Φ。这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2) 给只有一个0元素列(行)的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Φ。 (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到所有0元素都被圈出和划掉为止。 (4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个(表示对这个可以从两项任务中指派其一)。这可用不同的方案去试探。从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其他0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 (5) 若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m＜n，则转入下一步。 * 第5节 指派问题 现用例7的(bij)矩阵，按上述步骤进行运算。按步骤(1)，先给b22加圈，然后给b31加圈，划掉b11，b41；按步骤(2)，给b43加圈，划掉b44，最后给b14加圈，得到 注意：矩阵中符号 即是文中的◎符号。 以下同。 * 第5节 指派问题 可见m=n=4,所以得最优解为