数学模型第二章习题答案【参考】.doc

第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系. 解: 设、、S、的关系为， 其量纲表达式为: [P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲. 量纲矩阵为： A= 齐次线性方程组为： 它的基本解为 由量纲定理得　， ， 其中是无量纲常数. 16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式. 解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数. 16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式. 解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为 []=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2 其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量 即 . 由 , 得 , 其中是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为 其量纲表达式为： ， 其中，，是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量  ∴, , ∴ ，其中是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,. 又 当无量纲量时， 就有 . 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况. 解：由题意可得贮存量的图形如下： 贮存费为 又 , 贮存费变为 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 . , 得 易得函数取得最小值，即最优周期为： . 相当于不考虑生产的情况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（2008年10月16日） 3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型. 解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ， 分母而加的. 总费用函数 最优解为 5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为 又 .于是总利润为 = = , 得到最优价格为: 在销售期T内的总销量为 于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得： 即为的最优值. 第三章3（2008年10月21日） 6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改