机器人学—数学基础..ppt

王新庆 机械设计与车辆工程系 工科D414 工程软件演示与讲解教学法 参考教材 [美]付京逊《机器人学》 [中南大学]蔡自兴《机器人学》 [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》 参考教材 [中南大学]蔡自兴 一 机器人位置和姿态的描述 Justin catch ball 串联机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务 运动学问题： B,H坐标系 位置：H的原点在B坐标系中的坐标表示 姿态：H坐标系相对于B坐标系的姿态 运动学研究的两个问题 研究运动学的方法 轴线平行及相交 研究运动学的方法 1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 2.1 点和面的齐次坐标2.1.1 点的齐次坐标 用n+1个变量表示n维空间的几何元素。 引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放 [例1]： 齐次坐标与三维直角坐标的区别 V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c） 而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。 几个特定意义的齐次坐标： [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 [0 0 0 0]T — 没有意义 2.1.2 平面的齐次坐标 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为 点和平面间的位置关系 2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1 旋转矩阵 绕Z轴的基本旋转矩阵 总结 2.2.2 旋转齐次变换 以绕Z轴的基本旋转矩阵为例验证 2.2.4 相对变换 右乘的意义： 机器人用到相对变换的时候比较多 例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示 2.2.5 齐次变换矩阵的几何意义 知识点： 点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 知识点： 三个基本旋转矩阵 齐次坐标和齐次变换知识点： 点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 齐次变换的几何意义 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 需要在黑板上画、推导。 需要在黑板上画、推导。 需要在黑板上画、推导。 需要推导 需要推导 需要推导 解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°） ② R（z, 90°） ③ R（y, 90°） （2-14） （2-15） （2-16） 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式： R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令： 定义1： 当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。 注意：旋转矩阵间不可以交换 ，平移矩阵间可以交换 举例说明： 例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90o) ②R（y,90o） ③Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵 解1：用画图的方法： 解2：用计算的方法 根据定义1，我们有： 以上均以固定坐标系各轴为变换基准，因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果： 例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 轴转动90o； ③绕当前 轴转动90o；求合成旋转矩阵。 （2-20） 解1：用画图的方法 解2：用计算的方法 （2-21） 式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论： 动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况： 定义1：如果所有的变换都是相对于固定