材料力学(II)第三章..ppt

Ⅱ. 单位力法 (1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq , dl , dd , dj 作为变形虚位移。即以实际位移作为虚位移。 (2) 若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为 。 第三章 能量方法 （3）单位力所做的外力虚功为 We =1·D 单位力法的虚位移原理表达式为 (3-18) 该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。 第三章 能量方法 杆件的内力虚功为 (3-19) 于是(3-18)成为 (3-20) 式中 为由单位力引起的内力， 为荷载引起的内力。 为大于1的系数，见例 3－20。 第三章 能量方法 (4) 线弹性体 由荷载引起的微段变形位移公式为 例 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。 解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为 l C B A F l x x z y O 第三章 能量方法 （0≤ x≤ l） ， （0≤y≤ l） A 端的铅垂位移为 第三章 能量方法 ， ， （↓） BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为 Ⅰ. 卡氏第一定理 （ ） 例 各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。 第三章 能量方法 §3－4 用能量法解超静定系统 (2) 解：设1, 2, 3 杆的轴力分别为 , 和 （图b），相应的位移为D1, D2和D3（图c）。由对称性可知， ， D1＝D2。由图c可知： 第三章 能量方法 结构的应变能为 (1) 若求出D3，可由（1）求出D1（D2）。再由胡克定律求出轴力。以D3为基本未知量，该题为一次超静定。 解得 由胡克定律得 将（4）式代入（1）得 (4) 第三章 能量方法 (3) 得 由 ， 以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法。（1）式为变形的几何方程，（3）式为平衡方程。求轴力时又应用了物理方程。故位移法仍然是综合考虑了平衡方程,几何关系和物理方程来求解超静定问题的。 第三章 能量方法 解：若以各杆的轴力为未知量，该题为（k-2）次超静定问题。若以A点的水平位移Dx和铅垂位移Dy为未知量，各杆的位移均可用Dx ,Dy表示，再由胡克定律求出轴力，该题为二次超静定问题。 第三章 能量方法 例 3－18 图 a中 k≥3。各杆的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1,A2 …，Ak 。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。 第 i 根杆的长度为 （1） 由图b可知，第 i 根杆的伸长量为 （2） 结构的应变能为 （3） 第三章 能量方法 由 ，得 （5） 联解（4）,（5）可得Dx 和Dy 。把Dx和Dy代入（2）可得 ，由胡克定律得到第 i 根杆得轴力 第三章 能量方法 （4） Ⅱ. 余能定理（ ） 例 3－15 三杆的材料相同，s = Ke1/n( n 1) ，横截面面积均为A，1, 2两杆长度为 l。用余能定理求各杆的轴力。 第三章 能量方法 第三章 能量方法 解：以铰链 D 的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示，F,X 看作基本静定系上独立的外力， 所以 Vc = Vc (F,X ) （不能含有其它未知力） 因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，应有 由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。 (1) （轴力均用F 和 X 表示） 第三章 能量方法 由平衡方程得各杆的轴力分别为 各杆的应力分别为 (2) (3) 由 得 第三章 能量方法 结构的余能为 (4) 三杆的余能密度分别为 （4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示变形的几何关系。 由 ，得 将X 值代入（1），得 第三章 能量方法 以力为