新人教A版选修2-2《111+2变化率问题导数概念》知能检测及答案..docVIP

1.1.1+2 变化率问题 导数概念课后知能检测 新人教A版选修2-2 一、选择题 1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于(　　) A．8πRΔR　　　　　　　　B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2 【解析】　球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2. 【答案】　B 2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3　　　　　　　　　　B．3 C．6 D．－6 【解析】　由平均速度和瞬时速度的关系可知， V＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6. 【答案】　D 3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　) 图1－1－2 A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小 【解析】　由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量． 【答案】　B 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 【解析】　f′(x0)＝li ＝li ＝li (a＋bΔx)＝a， f′(x0)＝a. 【答案】　C 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．3 【解析】　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x， 由f′(x0)＝3得3x＝3，x0＝±1. 【答案】　C 二、填空题 6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________． 图1－1－3 【解析】　1＝＝kMA， 2＝＝kAB， 3＝＝kBC， 由图象可知：kMAkABkBC， 321. 【答案】　321 7．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________. 【解析】　Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ＝2＋Δx. 从而割线PQ的斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1. 【答案】　2.1 8．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________. 【解析】　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3， ＝3m－3mΔx＋m(Δx)2， f′(－1)＝[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m， 由f′(－1)＝3得3m＝3，m＝1. 【答案】　1 三、解答题 9．正弦函数y＝sin x在区间[0，]和[，]的平均变化率哪一个较大？ 【解】　y＝sin x在区间[0，]的平均变化率为 ＝＝. y＝sin x在区间[，]的平均变化率为 ＝＝， . ∴正弦函数y＝sin x在区间[0，]的平均变化率比在区间[，]的平均变化率大． 10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)． (1)求此物体的初速度． (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． (3)求t＝0到t＝2时的平均速度． 【解】　(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v＝ ＝ ＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)． 即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反． (3)＝＝＝1(m/s)． 即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s. 11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为 f(x)＝ 求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 【解】　15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20， ＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. f′(0.25)＝li ＝li (40＋80Δx)＝40. 又当