09-无穷小量的比较.ppt

解 例15 连续两次使用等价无穷小替代. 等价无穷小替代 解 例16 利用初等方法进行变化, 使之能用等价无穷小替代. 解 例17 解 例18 无穷小量的比较 一. 无穷小量比较的概念 二. 关于等阶无穷小的性质和定理 上页 下页 结束 定义. 1、若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 注意：o(u), 是表示一类无穷小量，不一定特指那个函数。 2、若 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 注意：高阶的无穷小的运算 注意：o(u), 是表示一类无穷小量，不一定特指那个函数。 3、若 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 或 记作 当C=1时， 记作 x=-1:0.01:1; y=x; plot(x,y) hold on; z=x+x.^2; plot(x,z,*) v=x+x.^3; hold on plot(x,v,g) b=sin(x); hold on; plot(x,b,r) ～ 定理1. 证: 即 即 例如, ~ ~ 故 上页 下页 结束 则 所以 我们称 并称 为 4、若 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 注意：一般基本无穷小用幂函数充当 ? x ? 0 时, 不可比较的无穷小. 不存在, 也不是无穷大, 与 x 是 例4 例3 所以 1? cos x = O( x2 ) ( x ? 0 ) . 将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x ? 0 时 二. 关于等阶无穷小的性质和定理 1. 定理 定理 设在某一极限过程中, 注意：分子分母可用等价无穷小代换 限过程中的第三个变量. 2. 定理 z 是该极 设在某极限过程中, 则 定理 定理 设在某极限过程中, ? ~? , ? ~? , 则 ? ~ ? . 注意：在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量作为乘积因子可以用其等价无穷小量替代. 书中定理4解释： P51 定理4：在某极限过程中， 则有： 例： 例 上页 下页 结束 求 例6 解 求 例5 解 求 例7 解 例 上页 下页 结束 求 例8 解 求 和差化积 例9 解 此题也可先在 分子处加 1 减 1 求 例10 解 四则运算 由于 例12 解 解 例13 等价无穷小替代 重要极限 请看下面的定理. 定理 解 例14 解 例15 例 求当 时u的主部及关于x的阶数 解:由 ，得到： 故主部为…… 内容小结 1. 无穷小的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 2. 等价无穷小替换定理 ~ ~ ~ ~ ~ 常用等价无穷小 : 上页 下页 结束 定理的内容及理解 解 例14 变量代换 四则运算 等价无穷小 补充例题14--21