概率论与数理统计离散型随机变量.pptVIP

2.2-2.3 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布列　 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , …设X取xi的概率，即事件{X=xi}的概率为 一、离散型随机变量的分布列 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量P (X = xi )= pi （i = 1, 2, …） 则称这组概率为随机变量X的概率分布(概率函数)或分布列（律）。 离散型随机变量的概率分布亦可用概率分布表来表示 X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn … 分布列的性质 非负性 规范性 注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）. 例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 具体写出，即可得 X 的分布律： 解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 并且 =—— 求分布率一定要说明 k 的取值范围！ 例２ 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 解: (1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 X 01 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56,　　　P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为： (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56 二、离散型随机变量的分布函数 X pk -101 0.25 0.5 0.25 求X的分布函数，并求 ? -1 ? 0 ? 1 x x ] ] ] ? ]解： 对于离散型随机变量X,其分布函数F( x) 是分段 阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间 断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk (1) 0 – 1 分布 X = xk10 Pkp1-p 0 p 1 注:其分布律可写成 三、常见的离散型随机变量的概率分布凡是随机试验只有两个可能的结果， 应用场合 常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 则称 X 服从p为参数的0-1分布, 也称为贝努里分布.记作 X～ B (1 , p ). 其概率分布可表示为 (2) 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用表示事件｛出现 点｝，则随机变量 是均匀分布． (3) 二项分布 背景：n 重Bernoulli 试验中，事件A在n 次试验中发 生的次数—— X 是一离散型随机变量. 若P ( A ) = p , 则X的分布律为 若随机变量X具有上述概率分布，则称X 服从参 数为n, p 的二项分布，记作 特别当 n=1时，二项分布为 即为0-1分布。 二项分布的图形 例4 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件．试求下列事件的概率：B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 }C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验． 解： 所以，取出的次品数 于是 例５ 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率.解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验 . 其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)(4) 泊松分布 （k =0，1，2，…）定义 如果随机变量X的概率分布为 在一定时间间隔内： 一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数； 泊松分布的应用场合 电话总机接到的电话次数； 一个容器中的细菌数； 放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数； 某一地区发生的交通事故的次数都可以看作是源源不断出现的随机质点流,