线性代数§3.376070.ppt

类似地，将 AB 和 B 按行分块，可以得到 AB 的行向量组可以由 B 的行向量组线性表示，所以 综合得到 性质5的证明： 由性质4，并注意到P和Q可逆， 故结论成立. 或者： 因为P和Q可逆，所以P和Q可以写成若干个初等矩阵 的积，而初等变换不改变矩阵的秩，所以 结论成立. 性质6在下一节证明. 性质5: 若P, Q可逆, 则r(A) = r(PA)=r(AQ)=r(PAQ); * 定理3. 5：初等行变换不改变矩阵的行秩，即若 A 初等行变换 B 那么B的行秩＝A的行秩. 定理3. 6：设 初等行变换 那么对于A与B的任何对应的向量组 和 有相同的线性相关性. 证明：因为A B，所以存在初等矩阵 初等行变换 使得 记 上式即为 PA＝B 也可写作 即 任取 则 考虑齐次线性方程组 和 一方面， 即 另一方面， 即 两方程组为同解方程组，故 和 有相同的线性相关性. 定理3. 6：初等行变换不改变矩阵的列秩。 对A做列变换，即对 做行变换，而 的行（列）秩＝ A的列（行）秩 所以初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩. 定理3.7：初等变换不改变矩阵的行秩和列秩. 设矩阵A 初等变换 阶梯形矩阵U， 那么 A的行秩 ＝U的行秩 ＝U的列秩 ＝A的列秩 于是有 定理3.8：矩阵A的行秩＝A的列秩. 向量组的秩的求法： 初等变换 行阶梯形矩阵，则 A的行秩＝A的列秩＝阶梯形矩阵中非零行的行数. A 作矩阵A 如果要求极大无关组或求线性表示的表达式，则将所 给向量作为列向量作矩阵A，再对A作初等行变换. 例2：设 求向量组的秩及极大 无关组，并将其余向量用极大无关组表示. 解：作矩阵 因为 线性无关，且 于是 是原向量组 的一个极大无关组，且 所以 二、矩阵的秩 1、定义 定义：矩阵A的行秩的数值称为矩阵A的秩，记为秩(A)或 r(A)，r(A)＝n 的 n 阶矩阵称为满秩矩阵. 由定义马上可以得到： 秩：rank （1）设A为m×n矩阵，则 （2）r(A) = 0 A = O初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 关于满秩矩阵，有下面的结论 定理3.9：设A为n阶矩阵，则 r (A) = n 证明： 设 r (A) = n，且 矩阵 A 初等行变换 阶梯形矩阵U， 则 U 中非零行的行数为 n,故 U＝I 即存在初等矩阵 P，使得 PA＝I 从而 |P| |A| = 1, 所以 反之，设 那么齐次线性方程组 Ax＝0 只有0解， 从而A的 n 个列向量线性无关，故 r(A) = n. 由此定理，马上得到 设A为n阶矩阵，则 r (A) n 此时A为奇异矩阵，也称为降秩矩阵. 2、r(A)与A的子式的关系定义: 在m?n矩阵A中任取 k 行 k 列( k?m, k?n ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A的k阶子式. m?n矩阵A的k阶子式共有 （3）若在矩阵A中有一个 r 阶子式D非零, 且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式.（1）值为 0的 k 阶子式称为 k 阶零子式; 值不为0 的 k 阶子式称为 k 阶非零子式. (2) 所取的行数和列数相同的 k 阶子式称为 k 阶主子式. 定理3. 10：r(A) = r A的非零子式的最高阶数为r. 证明： 设r(A) = r，那么A的行秩和列秩均为r, 即A中有 r 行 r 列线性无关, 不妨设为前 r 行前 r 列， 于是位于A的左上角的 r 阶子矩阵 Ar 的秩为 r，即为 满秩矩阵，从而 又因为 A 中任意 r＋1 个行（列）向量都线性相关， 所以 A 的任意 r＋1 阶子式都是零子式，即 A 的 非零子式的最高阶数为 r. 反之，设位于 A 的左上角的 r 阶子式 于是 Ar 的 r 个行向量线性无关，从而 A 的前 r 个 行向量也线性无关，而A的任何r＋1个行向量都 线性相关，（否则有r＋1阶非零子式），所以 r (A) = r. 说明：此定理说明矩阵的秩可以定义为非零子式的最高阶数.零矩阵的秩为零.m?n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数.对于AT, 显然有: R(AT) = R(A). 由上面的定理容易得到： 关于矩阵秩的基本结论是. 矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的非零子式的最高阶数. 初等变换不改变矩阵的秩。 解: 在矩阵A中 例3: 求矩阵A= 的秩. 又由于矩阵A的3阶子 式只有| A |, 且| A | = 0. 所以, R(A)=2. 例4: 求矩阵A= 的秩. 并求A的 一个最高阶非零子式. 解: 用初等行变换将A化为行阶梯矩阵: A r