线性代数2.3向量间的线性关系-1(线性表示).pptVIP

* * §2.3 向量间的线性关系 (一) 线性组合 例1 设有向量 称?是的线性组合. 例2 设 称?是线性组合. 或?可以由线性表示. 或?可以由线性表示. 定义2.8 对于给定的向量 ?, ?1,?2 , …,?s 成立， 例 在2维空间R2 中 即2维空间中的任一向量 1 1 k1,k2,…,ks 使关系式 由向量组?1 ,?2 , …,?s 线性表示. 线性表示. 都可以用?1,?2 如果存在一组数 或称 ? 可以 则称 ?是向量组?1,?2 , …,?s 的 线性组合, 例 在3维空间R3 中 即3维空间中的任一向量 1 1 1 都可以用 ?1,?2 ?3 线性表示. 在 n 维向量空间Rn 中， 称为n 维单位向量组 结论1 Rn 中的任一向量? 都可以由 单位向量组线性表示. 是Rn 中的任一向量组, 结论2 零向量 结论3 向量组?1, ? 2, …, ?s 中的任一向量, 一般地,?j = 可以由?1 ,?2, … ,?s线性表示. 都可由该向量组的线性表示. 设 ?1, ? 2, …, ?s 是任一向量组的线性组合. 例 设 判断 ? 能否由?1,?2 ,?3 线性表示. 解 设 k1=2,k2=－1,k3= 3 例 设?1=( 1, 2, －1, 5 ) ?2=( 2,－1,1, 1 )判断 ?1 能否由?1 ,?2线性表示. ?1 能由?1 ,?2 线性表示. 解 只作行变换 ?1=( 4,3,－1, 11 )例 设 ?1 =( 1,2, -1, 5 ) ?2=( 2,-1, 1, 1 ) 判断?2 能否由?1 , ?2 线性表示. 解 ?2不能由?1 , ?2 线性表示. ?2=( 4, 3, 0, 11 ) 课堂练习 设 ?1 = ( 3, －3, 2 ) ?2 = (－2, 1, 2 ) ?3= ( 1, 2, －1 ) 判断? 能否由?1 ,?2 ,?3 线性表示. 解= (4, 5, 6 ) ? 能由?1,?2,?3 线性表示. ( 二 ) 线性相关与线性无关 例 称?1, ? 2, ?3线性相关 例 只有当系数k1, k2, k3 都是 0 时,才有 即只有 称?1, ?2 , ?3 线性无关.定义2.9 对于向量组?1, ? 2, …, ?s,如果存在一组不全为 0 的数k1,k2,…,ks 使关系式 成立,则称向量组?1, ? 2, …, ?s 线性相关. 即只有当系数 k1=k2 = … = ks= 0 时,才有 则称向量组?1, ? 2, …, ?s 线性无关.如果没有不全为 0 的k1,k2,…,ks,使 线性相关的定义 说明:对任意s个n 维向量 等式 当然成立,称为当然的线性关系. 当系数 k1=k2 = … = ks= 0 时当然成立 即 问:当 k1,k2 ,… , ks不全为 0时 ,上式是否也可能成立若有 k1,k2 ,… , ks不全为 0 ,使上式成立,则称?1, ? 2, …, ?s线性相关;若没有不全为 0 的 k1,k2 ,… , ks ,使上式成立,则称?1, ? 2, …, ?s线性无关. 例如 =( 0,0, 0 ) 向量组?1, ?2 线性相关. 只有当系数 k1=k2 = 0 时,才有 向量组?1, ? 2 线性无关.