线性代数75863.pptVIP

* 分量全为实数的向量称为实向量, n 维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和 列向量，即行矩阵和列矩阵, 并规定行向量和列向量都按矩阵 的运算规则进行运算. 定义1 分量为复数的向量称为复向量. 第三章 n维向量与向量空间 n 个数 所组成的数组称为 n 维向量, 称为第 i 个分量. 第 i 个数 这 n 个数称为该向量的 n 个分量, §1 n维向量 n 维行向量 规定： n 维列向量 列向量用黑体小写字母 a, b, ?, ? 等表示， 行向量则用字母 等表示. 除特别说明外，向量都当作列向量. 定义2 如果 和对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,…,n 就称这两个向量相等，记为。 定义3 向量 （a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 称为 与的和，记为。称向量 （ka1,ka2,…,kan） 为 与k的数量乘积，简称数乘，记为 。 返回 上一页 下一页 定义4 分量全为零的向量 （0，0，…，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,…,-an） 称为 的负向量，记为。 向量的减法定义为 向量的加法与数乘具有下列性质 ： 返回 上一页 下一页 满足（1）—（8）的运算称为线性运算。 返回 上一页 下一页 向量组是指若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合. m ? n 矩阵 有 n 个 m 维列向量 称为矩阵 A 的列向量组. 记 例如 则 称为矩阵A的行向量组. 记 另外，m ? n 矩阵 A 又有 m 个 n 维行向量 总之， 含有限个向量的向量组可以与矩阵一一对应。 给定向量组 对于任何一组实数 向量 称为向量组 A 的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数. 定义5 使 这时称 向量 b 能由向量组 A 线性表示. 和向量 b, 给定向量组 如果存在一组数 则称向量 b 是向量组 A 的线性组合, §2 向量组的线性相关性 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩. 补充定理 定义6 当且仅当 时， 向量组 A 线性无关： 给定向量组 A ：， 则称向量组 A 是线性相关的， 否则线性无关. 如果存在不全为零的数 使 (1) 当m=1时， a1= 0 时线性相关；a1≠0时线性无关； (2) 对于只有两个向量a，b的向量组，a，b线性相关的充分必要条件是a， b的对应分量成比例。 注: 定理1 向量组 A ：线性相关，即向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示. 反之亦然。 例如，向量组 是线性相关的，因为 补充定理 向量组线性相关的充分必要条件是矩阵 的秩小于向量个数 m； 向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) =m . 设有向量组 显然该向量组是线性相关的, 但 不能由线性表示. 含零向量的向量组必线性相关. 例1 n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵 是 n 阶单位矩阵. ∴ R(E) = n, 即 R(E) 等于向量组中向量个数， ∴ n 维单位坐标向量组线性无关. 例2已知 试讨论向量组及向量组的线性相关性. 解 向量组线性相关； 向量组线性无关. 对矩阵 施行初等行变换变成行阶梯形矩阵, 即可同时看出矩阵 及 的秩, 再利用定理4即可得出结论. 例3 已知线性无关， 试证线性无关. 证 线性无关， ∴方程组只有零解 ∴向量组线性无关. 设有, 使 ∴当且仅当 时， 定理2：若向量组 A：线性无关， 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示唯一. 而向量组 B： 证 ∵ B 组线性相关， ∴存在不全为零的数 有 若k=0，则 ∵ A 组线性无关 矛盾. ∴k≠0 即向量 b 能有向量组 A 线性表示， 且表示唯一. 若又 推论： 一个向量组若有线性相关的部分组， 则该向量组线性相关. 一个向量组若线性无关， 则它的任何部分组都线性无关. 定理3 若向量组 B 线性无关， 则向量组A 也线性无关.若向量组A： 线性相关， 则向量组B： 也线性相关； 含零向量的向量组必线性相关. 注 定理4 设 p1,p2, …,pn 为1，2，…，n 的一个排列，和为两向量组，其中 即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。 证 ∴向量组 A 线性相关， 若向量组 B 线性相关， ∴存在不全为零的数 使 即 且 定理5 若向量组 A 线性 无关， 则向量组 B也线性无关； 若向量组 B线性相关， 则向量组 A 也线性相关. 设有向量组 A：, 向量组 B： 其中 推论 n阶方阵A可逆的充分必要条件