线性代数4-473743.ppt

一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 思考题 思考题解答 * * 4.4 线性方程组解的结构 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程的 解，则 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若为的解，则也是的解. 证明: 　　（2）若为的解， 为实数，则也是的解． 证明: 证毕. 　　由以上两个性质可知，的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组的解空间．一般记作 １．基础解系的定义 定理1 ２．线性方程组基础解系的求法 (3)解空间的基不是唯一的．但维数相等！ 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 证明： １．非齐次线性方程组解的性质 问： 证明: 证毕． ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的通解为 　　其中为对应齐次线性方程 组的通解，为非齐次线性方程组 的任意一个（特）解. ３．与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 ４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． 例4 求解方程组 解 答案：B １．齐次线性方程组基础解系的求法 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 行最简形：