第七章物理大地测量中的数理统计.ppt

7-5 重力异常的内插和外插 7-1节曾指出，内插外插估算的目的是补充重力观测的不足，它可以用少数点，估算地球表面上其它点 P 的重力或重力异常。如果 P 点被重力站围绕着，采用内插；如果重力站离 P 点很远，即用外插。这两种估算方法间，显然没有很大的差别，而且，两种情况的数学公式是相同的。 为了估算 P 点的重力异常，必须有关于重力异常函数的资料。最重要的当然是某些点的观测值，此外，还需要有关重力异常函数形式的某些资料。如果实测的重力点分布很密，则函数的连续性或“平滑度”即已足够用于线性内插。否则，须试用关于重力异常的一般结构的数理统计资料。即须考虑两种数理统计的相关性： 自相关(即重力异常间的相关)和高程与重力异常的相关。 现在讨论如何利用数理统计方法从已知重力值的点或区域，推算空白地区的重力值。也就是内插或外推的问题。 假设已知点的重力值为?g1, ?g2 ……?gn，则未知的重力值应该是这些?g 的函数（如果重力异常是互相关的话）。故 模型估计法利用卫星跟踪资料解算重力场模型，或利用地形资料解算地形均衡模型，以此计算所需点重力异常值； 上图为模型估计法得到的结果；下图为实际重力异常。 7-6估算方法的精度，最小二乘法估算 7-7误差传播，球谐函数的精度 * 第七章 物理大地测量中的数理统计物理大地测量中最重要的问题是提出和解释扩展到全球的积分表达式。司托克斯公式即此一例。原理上，需要地球表面每点的重力值 g。而事实上，即使在最密的重力网也只能说相对地测量少数点的 g，所以必须要用内插法估算其余一些点的 g 值。数学上的内插和外推没有差别，因此给它们起了一个通用的名词叫“估算”。估算(内插或外插)显然不能得出严格的数值。因此，问题在于估计重力或重力异常的误差。既然?g 要进一步用来计算其它量，如大地水准面起伏 N，或垂线偏差分量 ξ、η，所以必须研究?g误差对 N、ξ 、 η 等的影响，这称为“误差传播”。 究竟哪一种方法对估算 ?g 或导出 N、ξ 、 η 能获得最高的精度，这个问题也是很重要的。要想找出“最佳”的估算方法，显然需要解决前面已提到的知道 ?g 的估算误差和它对导出量的影响问题。还有一个问题。在原理上，积分式都包括全球。而实际上，无论是出于有些地区进行重力测量，或者是积分范围再增大对精度没有实质上的提高等原因，只在有限的面积内积分。于是，省略掉那些较远带区的影响必须估算。故总起来看，有下列几个问题， 1. 估计?g 的内插误差和外插误差； 2. 估计导出量N、ξ 、 η等的误差影响； 3．确定最好的估算方法， 4. 估算省略掉远区的影响。 研究平均误差比个体误差更为重要，故需采用数理统计处理。 7-2 协方差函数 式（7-5）表示了重力异常的互相关，它与相关系数有如下关系： 相关性随 s 的增大而减少。 可以这样理解：因为重力异常是受地壳内部物质异常的影响。当两点很接近时，它们同时受到这种异常的影响，因而产少很接近的异常值。当其中一点移到较远的地点，则原来影响逐渐减少，甚至消失，而其他的物质异常对它产生另一种影响．由此可以看出，重力点间距离越小，它们重力值的关联越强，越远则越弱，甚至不相关联．因此，协方差可以作为衡量重力异常相关性的一种标准． 要实际求解方差函数 C(s) 需解决一系列问题。它的精确确定，必须知道地面上每点的重力值。显然，这是不可能的，如果都知道，协方差函数就失去它的意义，因为那样就己严格地解决了问题而不需要数理统计了。实际上，我们只能从整个地球上分布的重力值取样来估计协方差函数。也就是说方差和协方差都可以通过对地面上实测重力数据来求得。例如，考拉在分析了地球表面上的大量重力数据后，得出空间异常的均方根(r.m.s)为 7-3 协方差函数的球谐函数展开式 物理大地测量中各种复杂的积分公式，如果用球谐函数表达，形式能够简化。司托克斯公式就是个很好的例子。可是，这些理论上的优点，实际应用时在大多数情况下，被级数收敛很慢的缺点所抵消，但有时收敛也是好的。所以实际上球谐函数仍很实用。 p21 p23 实际上（7-28）应该称为（重力）异常阶方差，用cn(?g)表示。是对应于半径为R的球而言。它们描述了异常场的谱特性，而这种谱特性是通过与球谐展开式特定阶次 n 相应的波长为 360o/n 的给定的异常方差来表示的。 A-7-1阶方差模型 前面已经定义了异常阶方差，Tscherning 和Rapp(1974)给出了推求大地水准面的阶方差公式： 他们还用全球协方差函数计算异常阶方差模型： 7-4 司托克斯和范宁梅尼兹公式远距离带区的影响 *