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思考题 思考题解答 * * §2.4 非齐次线性方程组解的结构 （2.4.1）定理2.4.1 设A是m×n矩阵,b是m×1矩阵，则非齐次线性方程组有解的充分必要条件是秩（A）=秩（ ），这里 是该方程组的增广矩阵。定理2.4.2 设A是m×n矩阵,b是m×1矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是秩（ ）=秩（ ）=n.AX=b对应的齐次线性方程组AX=0，称为原方程组的导出方程组。 非齐次线性方程组解的性质 性质 2.4.1注：非齐次线性方程组解向量的线性组合一般不是非齐次线性方程组的解向量。定理2.4.3 设非齐次线性方程组 AX=b 有 无穷多个解，则其一般解为 其中 是AX=b 的一个特解，是导出方程组的一个基础解系，是 t 个任意常数。 （2.4.3）证 显然，（2.4.3）是AX=b的解。反之，任取AX=b的一个解X，与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 例1 求解方程组 解 即得非齐次方程组的一个解 解 例2 求下述方程组的解 求基础解系 令 依次得 求特解 故得导出组的基础解系 所以方程组的通解为 例3 已知非齐次方程组的两个解，求其一般解。 解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵A的秩小于等于2. 又A的前两行线性无关，说明A的秩大于等于2。由此得秩(A) = 2。 于是，原方程组的导出方程组的基础解系含3-2=1个解。可取 作为导出方程组的基础解系，取作为原?方程组的特解，则原方程组的一般解为例2.4.3 设 是非齐次线性方程组的一个特解，是导出方程组的一个 基础解系。则 线性无关，并且的任一解均可表示为 其中。 证 令 （1） （2） 任取AX=b得一个解，则