计算方法14.ppt

拉格朗日三次多项式为 4.3.2 埃特金插值 4.3.3 内维尔插值 差商表 差商的性质: 1. n阶差商f[x0,x1,…,xn]是函数值f(x0), f(x1),…, f(xn)的线性组合，即 牛顿插值公式的构成 小结： 四阶插值 三阶插值 二阶插值 一阶插值 函数值 例1：已知函数f (x)=3x在x=0,1,2处的值，用埃特金逐次线性插值法求的近似值。 ？ 9 3 1 f(x) 2 1 0 x 用埃特金逐次线性插值法计算顺序，可得 1.5 3 9 2 2 3 1 1 0 二次插值 一次插值 解： 已知f(x)在三个互异点0,1,2的函数值1,3,9 用(0,1 ), (2,9 )作插值 用(x1,P01 ), (x2 ,P02 )作插值 用(0,1 ), (1,3 )作插值 例2：已知函数f (x)=5x在x=0,1,2处的值，用埃特金逐次线性插值法求的近似值。 ？ 9 3 1 f(x) 2 1 0 x 用埃特金逐次线性插值法计算顺序，可得 1 7 25 2 3 5 1 1 0 二次插值 一次插值 解： 已知f(x)在三个互异点0,1,2的函数值1,5,25 用(0,1 ), (2,25 )作插值 用(x1,P01 ), (x2 ,P02 )作插值 用(0,1 ), (1,5 )作插值 四阶插值 三阶插值 二阶插值 一阶插值 函数值 例1：已知函数f (x)=3x在x=-2,-1,0,1,2处的值，用内维尔算法求的近似值。 1/9 -2 1/3 -1 ？ 9 3 1 f(x) 1/2 2 1 0 x 按内维尔算法的计算顺序，可得 3/2 11/6 3/2 二次插值 1/9 -2 2/3 1/3 -1 41/24 3 9 2 16/9 2 3 1 4/3 1 0 三次插值 一次插值 解： 已知f(x)在三个互异点-2,-1,0,1,2的函数值1/9,1/3,1,3,9 用(1,3 ), (2,9 )作插值 用(x1,P01 ), (x2 ,P12 )作插值 用(0,1 ), (1,3 )作插值 用(-2,1/9 ), (-1,1/3 )作插值 用(-1,1/3 ), (0,1)作插值 拉格朗日插值小结： 1、插值多项式P(x)只与数据xi,f(xi)有关，与节点排列顺序无关，与f(x)无关，但余项R(x)与f(x)有关。 2、 f(x)是次数不超过n的多项式，取n+1个节点插值时，插值多项式就是其自身。 3、 基函数之和为1，l0(x)+ l1(x)+…ln(x)=1,可做检验用。 4、 n+1个节点的插值多项式不超过n次，不超过n+1项，可求插值区间[a,b]中任一点函数的近似值。 5、 内插比外推精度更高。当给定m个点，取n+1个节点(n+1≤m)做插值多项式求x点的函数值时，n+1个节 点取尽可能靠近x,余项小，近似程度好。 6、 当节点数变化时，需重新计算全部基函数，因基函数和每一个节点有关。 7、 逐次线性插值是反复利用线性插值公式使插值次数逐次增高的方法。 8、 n=1是线性插值，n=2是抛物线插值。 5.1 引言5.1.1 多项式插值5.1.2 多项式插值的唯一性5.1.3 插值的几何意义 5.2 拉格朗日插值5.2.1 线性插值和抛物线插值5.2.2 基函数和拉格朗日插值公式5.2.3 反插值5.2.4 插值余项及误差估计5.2.5 逐次线性插值（迭代插值） 5.3 牛顿插值5.3.1 差商及其性质5.3.2 牛顿插值公式5.3.3 差商和导数5.3.4 差分5.3.5 等距节点牛顿插值公式 第五章 插值和最小二乘法 5．3 牛顿插值公式牛顿插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点 时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会 改变的问题。 目的：构造具有如下形式的插值多项式 使满足递推性 5.1 引言5.1.1 多项式插值5.1.2 多项式插值的唯一性5.1.3 插值的几何意义 5.2 拉格朗日插值5.2.1 线性插值和抛物线插值5.2.2 基函数和拉格朗日插值公式5.2.3 反插值5.2.4 插值余项及误差估计5.2.5 逐次线性插值（迭代插值） 5.3 牛顿插值5.3.1 差商及其性质5.3.2 牛顿插值公式5.3.3 差商和导数5.3.4 差分5.3.5 等距节点牛顿插值公式 第五章 插值和最小二乘法 5.3.1 差商及及其性质 一阶差商 例： 零阶差商定义为函数值本身，即 二阶差商 例： 三阶差商 例： k阶差商 例如 例如 设 则 三阶差商 二阶差商 一阶差商 零阶差商 差商表 …… ┊ ┊　 ┊　 ┊　 ┊　 ┊ ? f(x0,x1,x2,x3,x4 ) f(x1,x2,x3,x4 )