弹性力学基础55724.ppt

u0=0 ，v0=0时有 合成位移是该点饶o点的转动，角速度为ω 0=0 如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：几何方程 哥西应变 工程应变 写成矩阵形式为 几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试命： 式中的u0, v0, w0, ?x, ?y, ?z是积分常数。 u0——弹性体沿x方向的刚体移动 v0 ——弹性体沿y方向的刚体移动w0 ——弹性体沿z方向的刚体移动 ?x ——弹性体绕x轴的刚体转动 ?y ——弹性体绕y轴的刚体转动 ?z ——弹性体绕z轴的刚体转动 为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。 变形协调条件当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。 当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为： 方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。应力分量与应变分量之间的关系----虎克定律 物理方程 设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及μ所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。 公式的适用范围 :在线弹性范围内,小变形条件下, 各向同性材料。 如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。 写成矩阵形式为边界条件 XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为 二维问题：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程 三维问题：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。 2.5弹性问题中的能量表示 能量分类 1）施加外力在可能位移上所作的功。 2）变形体由于变形而存储的能量。 2.5.1外力功施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。 2.5.2应变能以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（strain energy）。它也包括两部分1）对应于正应力与正应变的应变能2）对应于剪应力和剪应变的应变能 对应于正应力与正应变的应变能，另外两个方向上的计算类似。 对应于剪应力和剪应变的应变能（其它两个剪应力类似） 由叠加原理，将所有方向的正应力应变和剪应力应变叠加得 哥西应变张量 哥西应变张量 工程应变γ 从而得系统势能 ****虚功原理**** 刚体：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。 ****虚功原理**** 变形体：外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功（外力功）等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功（内力功）。 2.6特殊问题的讨论 实际问题中，经常有一些比较典型的情况，需要有针对性的进行处理，如 厚度较薄的平面问题 厚度较厚的等截面平面应变问题 物体的刚体移动 物体变形后的体积变化等 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量