线性代数 第一章 第6节.ppt

* §6 行列式按行（列）展开 ★子式与代数余子式的概念 ★行列式按行（列）展开法则 下页 关闭一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，本节主要讨论怎样用低阶行列式来表示高阶行列式。在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列的元素划去，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij ； 余子式和代数余子式 记 Aij =(－1)i+j Mij , Aij 称为元素 aij 的代数余子式。 上页 下页 返回 例如四阶行列式 元素 a32 的余子式和代数余子式分别是： 上页 下页 返回引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij 外都为 0 ，那么这个行列式等于aij 与它的代数余子式的乘积，即 证 先证aij 位于第 1 行、第 1 列的情形，此时 这是例 11 中当 k = 1 时的特殊情形。故有 上页 下页 返回 再证一般情形：此时 上页 下页 返回把D 的行列作如下调换：把D 的第 i 行依次与第 i－1行、第 i－2行、…、第 1 行对调，这样 aij 就调到原来 a1j 的位置上，调换的次数为 i－1 。上页 下页 返回再把第 j 列依次与第 j－1列、第 j－2列、…、第 1 列对调，这样 aij 就调到左上角，调换的次数为 j－1 次。 上页 下页 返回由于 aij 位于D1 的左上角，利用前面的结果，有总之，经过 i + j－2次调换，把 aij 调到左上角， 所得的行列式 D1 = （－1）i+j－ 2D = (－1)i+ j D , 而元素 aij 在 D1 中的余子式仍然是 aij 在D 中的余子式Mij 。 D1 = aij Mij , 于是D = (－1)i+j D1 = (－1)i+jaijMij = aijAij . 上页 下页 返回定理3 行列式等于它的一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证根据引理，即得 类似地，若按列证明，可得 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。 上页 下页 返回 例 1：计算行列式保留 a33 ，把第 3 行其余元素变为 0 ，然后按 3 行展开： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例10 计算行列式 上页 下页 返回 解 按第 1 行展开，有 上页 下页 返回 以此作递推公式，即可得 上页 下页 返回 证 用归纳法证。因为 例11所以当 n = 2 时成立。现假设(10) 对于 n－1 阶范德蒙行列式也成立。要证(10) 对于 n 阶范德蒙行列式也成立。证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 上页 下页 返回对范德蒙行列式 D ，从第 n 行开始，后行减前行的 x1 倍，有 上页 下页 返回 按第 1 列展开，并把每列的公因子( xi －x1 ) 提出，就有 上页 下页 返回 *