弹性力学-0455926.ppt

弹性力学平面问题极坐标求解步骤: （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 （4－6） （2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： （4－5） （3） 将上述应力分量 满足问题的边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件： 为边界上已知位移， 为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件） 平面轴对称问题求解步骤：——逆解法 （4－11） （1） 应力函数 （2） 应力分量 （4－12） （3） 位移分量 （4-13） 式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。 非轴对称问题的求解方法——半逆解法 1. 圆孔的孔边应力集中问题 原问题的转换： 问题1 b a b a 问题2 轴对称问题 非轴对称问题 2. 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶 x y O P x y O M （2） 楔顶受集中力 （3） 楔形体一侧受分布力 附1：曲梁一端受径向集中力作用矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为 a ，外半径为 b ，一端固定，另一端受径向集中力作用。 （1）应力函数的确定 分析： 任取一截面 m-n ，截面弯矩为 由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由此假定： 再由应力分量与应力函数间的关系， 可推得： 将其代入相容方程 （a） 该方程可转变为欧拉方程求解，其解为 （b） 代入应力函数为 （c） （2）应力分量的确定 （d） 边界条件： 代入应力分量得： 端部条件： （e） 代入剪应力分量得： （f） 联立求解式（e）、（f），得： 其中， 代入应力分量式（d），有： （f） 附2：曲梁应力函数确定的基本方法 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关系、应力与应力函数间微分关系，来推断应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： —— M、Q为梁截面上的弯矩与剪力。 直梁截面上的应力内力的关系： 曲梁截面上的应力内力的关系： —— q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 x y q 新问题的边界条件可表示为： x y b a 内边界 外边界 （a） 问题1 （b） （c） b a b a 问题2 将外边界条件（a）分解为两部分： 问题1 b a 问题1的解： 内边界 外边界 （b） 该问题为轴对称问题，其解为 当 ba 时，有 （d） 问题2的解： b a 问题2 （非轴对称问题） 内边界 外边界 (c) 由边界条件（c），可假设：为 r 的某一函数乘以；为r 的某一函数乘以。 又由极坐标下的应力分量表达式： 可假设应力函数为： 将其代入相容方程： 与前面类似， 令： 有 该方程的特征方程： 特征根为： 方程的解为： b a 问题2 相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条件（c）, 有 内边界 外边界 ? （e） 求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得 b a 问题2 代入应力分量式（e）, 有 （f） 将问题1和问题2的解相加, 得全解： （4-17） 讨论： （1） 沿孔边，r = a，环向正应力： （4-18） 3q 2q q 0 －q 90° 60° 45° 30° 0° （2） 沿 y 轴，θ =90°，环向正应力： 1.04q 1.07q 1.22q 3q 4a 3a 2a a r A b —— 齐尔西（G. Kirsch）解 （3） 沿 x 轴，θ =0°，环向正应力： （4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1 q1 x y q2 q2 （4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1 q1 x y q2 q2 叠加后的应力： （4-19） （5） 任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。 只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如： （5） 任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。 只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如： 45° 圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结: 原问题的转换： 问题1 b a b a 问题2 轴对称问题 非轴对称问题 §4-10 楔形体的楔顶与楔面受力 x y O M P 1. 楔顶受有集中力P作用楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为β，求： （1）应力函数的确定 因次分析法： 由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断： （a） 将其代入相容方程，以确定函数： 得： x y O P —— 4阶常系数齐次的常微分方程 其通解为： 其中A，B，C，D为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：