计算方法第五章.ppt

4.3 外推法 利用泰勒公式 4.4样条函数法： N个节点的样条函数插值公式为其中的系数是节点处的二阶导数值，可以由三对角线性代数方程组求出。对上式直接求导函数的1、2、3阶数值导数公式。 设 小结 1、本章所介绍的数值积分公式和数值微分公式，其核心思想是用插值多项式作为近似，从而求出积分和微分。 2、诸多求积公式中，无疑复化Simpson公式具有较好的计算精度以及较为简单的表达式，这在具体计算和编程中会带来好处。 3、利用代数精度的概念，可以用待定系数法确定求积和求导公式。 3、外推法是一种获得高精度计算结果的算法。 第五章数值微积分 第一节 等距节点求积公式 1.1基本求积公式 本章研究核心课题：给定一个已知 f(x)，求其在区间上的积分。 方法：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。 记： 则得到插值型求积公式，通常称为牛顿－柯特斯公式： 显然，公式的计算误差为： 等距节点时，，记，求积系数为： 为方便计算，引入此时，牛顿－柯特斯公式变为： 这里，我们称为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的柯特斯系数。 柯特斯系数表 n 系数 1 1/2 1/2 2 1/6 2/3 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19 288 25 96 25 144 25 144 25 96 19 288 6 41 840 9 35 9 280 34 105 9 280 9 35 41 840 7 751 17280 3577 17280 1323 17280 2989 17280 2989 17280 1323 17280 3577 17280 751 17280 8 989 28350 5888 28350 -928 28350 10496 28350 -4540 28350 10496 28350 -928 28350 5888 28350 989 28350 n=1时，称为梯形公式， n=2时，称为Simpson公式（辛浦生）， n=4时，称为柯特斯公式(Cotes)， 1.2复化求积公式 计算积分时，常常将积分区间分成许多小区间，在每个小区间上应用基本积分公式，再相加得到新的求积公式，这种公式称为复化求积公式。 复化梯形公式，区间 n 等分，分点为，步长： 区间2n等分，，则得到复化辛浦生公式 例：利用各种公式计算sinx在区间[0 , ?/2]上的积分。 结果为： 梯形公式：0.7854 Simpson公式：1.0023 柯特斯公式：0.9999 复化梯形公式：100个点计算结果，0.99978 复化辛浦生公式：100个点计算结果，0.999987 准确值：cos(0.0) - cos(?/2)=0.999987 DOUBLE PRECISION h,sum,sum1，pai integer nOPEN(10,FILE=INPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN)OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN) pai=3.14159 h=pai/2/4 sum=pai*(32*sin(h)+12*sin(2*h)+32*sin(3*h)+7*sin(4*h))/180.0n=100sum1=0.0 h1=pai/2/100 do 10 i=1,99sum1=sin(i*h1)+sum1 10 continuesum1=(sin(0.0)+sum1*2+sin(100*h1))*h1/2 write(20,*) sum,sum1 END 变步长积分法： 实际计算中，常常采取如下策略：事先给出某个步长 （可以稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算的偏差在精度范围内为止。 对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式： 首先，设步长为，，等分后得： 类似的可以得到变步长的辛浦生公式： 例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于0.01 精确值 数值结果 用辛浦生公式 可以看出，对于同一步长，辛浦生公式计算比梯形公式好! 1.3 代数精度与待定系数法： 一般地，取内若干个(n个)节点处的函数值，求积公式可以表示为： 定义：称求积公式具有m阶（代数）精度，如果它对于一切不超过m次多项式是准确的，但对于m+1次多项式不准确。 取 f(x) = 1 , x …，容易推出系数满足： 1.4 广义皮亚诺定理 广义皮亚诺定理：设下面的积分计算公式具有m阶代数精度 则其计算误差为： 1.5 求积公式的舍入误差 舍入误差分析表明：求积分公式 的系数一般要大于零！ n较大时的牛顿－柯特斯公式