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主讲教师:冉扬强 第三章 复变函数的积分 主要内容 (1)、复变积分的概念、性质及计算方法 (2)、柯西—古萨基本定理及其推广，以及它们的应用 (3)、原函数或不定积分的概念 (4)、柯西积分公式及其推广，以及它们的应用 (5)、解析函数的无限次可微性 (6)、共轭调和函数的概念，解析函数的几何意义 (7)、已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法 重点和难点 重点：复变积分的定义及计算方法；柯西—古萨积分定理及其推广；原函数或不定积分的概念；柯西积分公式；已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法 难点：复变积分的计算 §1 复变函数积分的概念 1、几个概念(1)光滑曲线；设曲线方程为，若函数 y 具有连续导数，则称曲线为光滑曲线. 若函数y具有分段连续导数，则曲线称为分段光滑曲线.(2)曲线段的方向：规定曲线段的方向为从起点到终点.(3)围线：分段光滑的简单闭曲线称为围线. (4)围线方向：当观察者绕围线环行时，如果研究的区域在观察者的左手方，这方向为正向，反之为负向. 2、复变积分的定义设c是一条以为始点为终点的有向曲线，函数在c 上有定义. 顺着c的正向依次取，把曲线分成若干个孤段，在从到的每一段上任取一点，作成和数其中，当时，此时每小段都趋于0时，若存在，则称该极限为沿c 的积分，记为：又称沿c可积 . 3、复变函数积分存在的条件和计算方法把,和用实部和虚部表示：则：即复变积分可以归结为两个实变函数线积分，根据线积分存在的条件可得复变积分存在的条件，即沿曲线c 连续.复变函数积分的计算可转化为实定积分的计算，设曲线c 的参数方程为, 并且是光滑的，则4、复变积分简单性质 i).(为c 的终点,为c 的起点)　　 ii).(为常数). iii).全路径上的积分等于各段上积分之和. 即　 iv).其中表示与c 方向相反的同一曲线，该性质说明：反转积分路径，积分变号. v). vi).其中M是在c上的一个上界（最大值）, l 为c 的长度. 例1：试证这里c表示以a 为中心为 半径的圆周. 证: 取参数为t ，则c 的方程可表示为：当 n = 1 时，当时, 且 n 为整数例2：计算积分，其中积分路径c:(i).c为连结 0 点到1+i 点的直线段.(ii).c为连结0点到1 点再至1+i点的折线. 解：(i).直线段的方程可表示为：，设，则，则 c 可表为：(ii)..的方程为：的方程为：故： §2柯西—古萨基本定理　我们知道复变积分与积分路径有关，即沿不同的路径，复积分的值不同. 但我们知道，复 积分可以化为两个实变积分和，而实变函数积分 只取决于起点和终点而跟路径无关的条件，即它沿闭合回路的积分为零的条件是偏导数连续, 且在闭合回路所围闭区域上有，同理实变函数积分沿闭合回路的积分为零的条件是连续，且。这些条件也就是复变积分与路径无关的条件，亦即回路积分的条件，以上条件不是别的，正是柯西—黎曼条件，即解析函数满足的条件， 由此得出结论： 定理（柯西—古萨基本定理）：若在单连通区域D上解析，c是D内任一围线，则： 例3 计算积分 解：由于在单位圆内及其边界上解析，所以 §3、基本定理的推广—复合闭路定理根据柯西—古萨基本定理，如果在围线c及其内部是解析函数，则.但如果在c所围区域内不是解析的，而是包含有奇点，则柯西—古萨定理不成立. 若我们作一圆Ｌ将奇点围住，而把Ｌ所围小区域挖去，这样就得到一个有洞的复连通区域.为了应用柯西—古萨西定理, 必须将复连通区域变为单连通区域。假设围线c内只有一个孤立奇点，为此，作割线AB连接外境界线c和内境界线Ｌ，单连通区域的正方向如图所示，在该区域上解析，由柯西—古萨基本定理得即沿内、外境界线逆时针方向积分相等。很容易从单个奇点推广到n个奇点的情形. 假设c内包含着n个孤立奇点，若作n个围线分别将n个奇点围住(互不包含，互不相交)，把所围区域一同挖去，这样有例4、设a为围线c内部一点，证明证明：在c内有一个奇点a，以a为心，作一圆包含于c 内，由例1的证明得：例5 计算积分 解：§4 原函数与不定积分柯西—古萨基本定理说明：如果在单连通区域D上解析，则沿D上任一曲线L 的积分与路径无关，只与其起点和终点有关，当始点固定时，积分在D上就定义了一个单值函数，记为 定理： 设在单连通区域D上解析，则在D上解析，且.在区域D内满足的函数称为在D内的一个原函数. 若在D上解析，则就是的一个原函数，并且的任一原函数为(c 为常数)的原函数的集合就为的不定积分，显然有： 例6 计算 解：在复平面上解析，且* * 复变函数与积分变换 课程四 复变函数