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清华大学计算机图形学 约束优化方法 假设控制顶点改变，以满足点约束。我们对以上每个点，给一个扰动量，并用约束优化方法求之。约束条件为 清华大学计算机图形学令由 Lagrange 函数可得方程组 清华大学计算机图形学 解方程组可得 清华大学计算机图形学当只有一个控制顶点可动时，即为此为CAD主编Piegl于1989年提出的公式。 该方法可推广到其他几何约束及曲面。 清华大学计算机图形学 基于能量极小的方法 曲线 strain energy曲面 Thin plate energy清华大学计算机图形学 3.4.6 非均匀有理B样条（NURBS）曲面 NURBS曲面的定义 清华大学计算机图形学 规定四角点处用正权因子，即，其余。 NURBS曲面的性质与非有理B样条基函数相类似的性质： 局部支承性质 权性 清华大学计算机图形学 可微性. 在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微 极值.若p，q1，恒有一个极大值存在 是双变量B样条基函数的推广 清华大学计算机图形学谢谢!清华大学计算机图形学 3.3.4 节点插入算法 通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。 插入一个节点 在定义域某个节点区间内插入一个节点t，得到新的节点矢量：重新编号成为 清华大学计算机图形学 这个新的节点矢量U1决定了一组新的B样条基 原始的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知新顶点表示 清华大学计算机图形学 Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。 清华大学计算机图形学 清华大学计算机图形学 清华大学计算机图形学 3.3.5 B样条曲面 给定参数轴u和v的节点矢量p×q阶B样条曲面定义如下清华大学计算机图形学构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。和是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。 清华大学计算机图形学 清华大学计算机图形学 3.4 NURBS曲线与曲面 B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。 提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 清华大学计算机图形学 NURBS太过复杂，常令人望洋兴叹 NURBS Book， 走向实用化 (见下页) 清华大学计算机图形学 Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational B-Splines, write the authors in their foreword; they formulate the aim of changing NURBS to EURBS, that is, Everybody.…There is no doubt that they have achieved this goal....I highly recommend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems.Helmut Pottmann 清华大学计算机图形学 B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。 提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 清华大学计算机图形学 两类研究问题 逼近问题：圆弧的Bezier曲线逼近，挪威Oslo学派的工作 精确表示问题：权因子、顶点满足什么条件才能精确表示圆弧？ 清华大学计算机图形学 NURBS方法的主要优点 既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式 修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。 具有明显的几何解释和强