信号与系统课件(四).ppt

第二章 连续时间系统的时域分析 本章主要研究内容： 微分方程的建立与求解 零输入、零状态、冲激、阶跃响应 卷积、算子 分配函数 ①由元件约束、网络拓扑约束列写微分方程(S拨至2列写) ②由特征根写出齐次解形式 i)特征方程： ， ii)齐次解形式： 解： ④求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式： ii)求换路前的起始状态 i) t0时自由项=4×4 ii)0不是特征根，设特解为 ③求特解 iii)代入方程解得B=8/5 iii)求换路后的初始条件 电感电流不跳变： 电容电压不跳变： iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数 故： (t0) [例6]：已知： ， ， 求完全响应。 i)特征方程： ii)齐次解形式： i) t0时自由项=16 iii)代入方程左边解得：B=8/5 解： ①由特征根写出齐次解形式 ②求特解 特征根： ii)0不是特征根，设特解为： ③求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式： ii)冲激函数匹配法求跳变值：根据t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等 系统用微分方程表示时，系统地0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否包含及其高阶导数。有则跳变。 信号与系统—signals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 一、微分方程的建立 1．元件约束特性 ①电路元件 i)电阻R：R _ + i *时间域进行，不变换 *直观，物理概念清楚 *其它变换域方法基础 *重新得到关注和重视 v _ + L i ii)电感L： v + i _ C iii)电容C： 元件约束特性→网络拓扑约束(方程) →微分方程 iv)互感M： L1 M v1 L2 i2 i1 - - + + v2②机械元件 ii) 弹性系数： iii) 质量： i) 摩擦系数： 2．网络拓扑约束 ii)KCL： ②机械系统：达朗贝尔原理 ii) ①电路系统 i)KVL： i) 4．电路类微分方程建立例子 3．不同性质系统可用相同微分方程描述 数学模型，数学抽象，无物理意义 例见书上P43~P44 [例1]：求下面电路的微分方程 + _ + _ + _ e(t) v1(t) uv1(t) + _ v0(t) C R 解: C两端电压 5．机械类微分方程建立例子 [例2]：理想火箭推动器模型的微分方程 火箭 m1 载荷 m2 摩擦系数f1 摩擦系数f2 输入:推进力 e(t) k 输出:荷载舱速度解： 由(2)还可得： (4) 由(2)可得： (3) 把(3)和(4)代入(1)可得： e(t) r(t) 6．线性时不变系统的微分方程特点  ②若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能， 则系统为线性时不变系统 + - iL(0-)=0 L vc(0-)=0 - + C 0-:激励加入前的时刻 ①一般形式：线性常系数微分方程 二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法） ②齐次解 形式： 函数的线性组合 代入上式化简得特征方程 令 ①齐次方程： 1．齐次解（自由响应） 有n个根 特征根 ③各种特征根情况下的齐次解形式 ii) 为k重特征根，与 有关的齐次解部分： iii) 与 为共轭复根 （一重），对应齐次解部分： iv) 与 为共轭复根 （k重），对应齐次解部分为： i) 互不相同实根： 特征根决定了系统自由响应的全部函数形式 [例3]：求下列微分方程的齐次解形式 ① 解： = -1， = -2 ② 解： = -2(二重)， = -3 ③ (一重共轭) 解： ④ 解： = 0(二重)， (一重共轭) ⑤ 解：(二重共轭) 2．特解（强迫响应）：由激励形式和特征根情况共同决定 ①将激励代入微分方程右端，化简得自由项（t0时） ②根据自由项形式与特征根情况设特解。见特解表 为什么要考虑特征根情况? 注： 为 次多项式； 为s次多项式； ； 为 次多项式； ， 为 l 次多项式。 ③确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数 [例4]：求下列微分方程在不同激励下的特解 ① 自由项= ，0不是特征根， = 代入左端令对应系数相等可得： B0=0.5, B1=-0.5, B2=0.5 特征根： 解： i) ii) 自由项= , t0时为0，故特解 = 0 iii) ，代入左端令对应系数相等可得：B=1自由项= ，t0时为 ，-2为1重特征根 iv) t0 时自由项= ，1不是特征根， 代入左端令对应系数相等可得：B=1/3 代入左端令对应系数相等可得： = t0 时自由项= ，-1为1重特征根， v) [例4]：求下列微分方程的特解 ② i) iii) ii) 解： (一重共轭) 特征根： t0时自由项= ， 为1重特征根， 代入左端令对应系