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2015年全国统一考试文科数学1卷
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1)已知集合,,则中的元素个数为
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(2)已知点,向量,则向量
(A) (B) (C) (D)
(3)已知复数满足,则(A)(B)(C)(D)
(4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()
(A) (B) (C) (D)
(5)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线的焦点重合,是C的准线与E的两个交点,则
(A) (B) (C) (D)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中
有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,
问”积及为 米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米
(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长
为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各
为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率
约为3,估算出堆放的米约有
(A)斛 (B)斛 (C)斛 (D)斛
(7)已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则
(A) (B) (C) (D)
(8)函数的部分图像如图所示,
则的单调递减区间为
(A)
(B)
(C)
(D),
则输出的
(A)(B)(C)7(D)8
(10)已知函数,
且,则
(A) (B)
(C) (D)
()圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=(A)1(B)2(C)4(D)812)设函数的图像与的图像关于直线
对称,且,则
(A)(B)(C) (D)
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13)数列中为的前n项和,若,则 .
14)已知函数的图像在点的处的切线过点,则 .
15)若x,y,z=3x+y的最大值为 .
16)已知是双曲线的右焦点,P是C左支上一点,,当△周长最小时,该三角形的面积为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17)(本小题满分12分)已知分别是△内角的对边,.Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若,且求△的面积.18)(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,.
Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,,
三棱锥的体积为,求该三棱
锥的侧面积.
19)(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x
(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利
润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中,,.Ⅰ)根据散点图判断,与,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)当年宣传费=49时,年销售量及年利润的预报值时多少?
(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,
其回归直线的斜率和截距的最小
二乘估计分别为。
(20)(本小题满分12分)已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.Ⅰ)求k的取值范围;(Ⅱ)若,其中O为坐标原点,求.21)(本小题满分12分)设函数.Ⅰ)讨论的导函数的零点的个数;(Ⅱ)证明:当时.
22、23、24题中任选一题作答,,,.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图AB是O直径,AC是O切线,BC交O与点E.
Ⅰ)若D为AC中点,证明:DE是O切线;
(Ⅱ)若,求的大小.23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,x.Ⅰ)求的极坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求的面积.24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.Ⅰ)当时求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
三、解答题
17、解:(Ⅰ)由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b,可得cosB==……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=2ac.因为B=,由勾股定理得.
故,的c=a=.所以△ABC的面积
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