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无穷级数 一、引例 二、级数的概念 三、 级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件 五、小结 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 , 其和为 (2) 这说明原级数收敛, 其和为 3 . (3) 常数项级数的基本概念 【基本审敛法】 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 常数项级数的概念和性质 一、引例 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件 五、小结 简介 无穷级数 常数项级数 函数项级数 正项级数 交错级数 任意项级数 幂级数 傅立叶（属于三角）级数 任意项（函数）级数 本章主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。 1. 【 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 】 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 2. 【无限循环小数的和】 1.【级数的定义】 【思考】 怎样理解无穷级数中无限多个量相加呢？ 【解析】 ⑵ 级数是“无限和”的形式，是“有限和”的自然延续; ⑶ 可以理解为是“有限和”的极限，才构成了级数的“无限和”. ⑴ 加法是有限个数之间的运算，“无限个数相加”用加法是无法完成的； ［定义］ 给定一个数列 即 称作(常数项)无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项. 成的表达式 由该数列构 【部分和数列】 2.【级数的部分和】——级数的前n项的和 ——有限和 当n依次取1，2，3，…时，它们构成一个新的数列｛Sn｝ 3.【级数的收敛与发散】 余项 【无穷级数收敛性举例】—— Koch雪花. ［做法］先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 播放 周长为 面积为: 第 次分叉： 于是有 【结论】雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）． 【解】 收敛 发散 级数发散 级数发散 综上 ［要求熟记该结论］ 【解】 已知级数为等比级数， 【例3】 判别下列级数的敛散性: 【解】 (1) 所以级数 (1) 发散 ; ［技巧］ 利用 “拆项相消” 求和 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . ［技巧］ 利用 “拆项相消” 求和 【小结】 在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出Sn的具体有限表达式，即须将Sn中的省略号“…”消去，才能求极限 ，否则不能直接求出. 【推广】 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 【性质1】 若级数 收敛于 S , 则级数 也收敛 , 【证】 令 则 这说明 收敛 , 其和为 k S . 即 其和为 k S . 收敛 【证】令 则 【性质2 】 这说明级数 也收敛, 其和为 【说明】 (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. ［例如］ (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 否 否 是 否 是 否 【解】 故由性质2 注意:「敛散性不变，但其和一般要变」 【性质3】 在级数前面加上、去掉或改变有限项, 不会影响 级数的敛散性. 【证】 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上或改变有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 【证明】 【性质4】 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和数列 为原级数部分和 数列 的一个子数列, 因此必有 例如 【注意】（逆命题不真） 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 【推论】（逆否命题为真）如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数必发散. 「常用此性质来判断一个级数发散」 【例如】 用反证法可证 【例5】判断级数的敛散性: 【解】 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 已知调和级数发散 【证明】 【性质5】级数收敛的必要条件: 【注意】（逆否命题为真） 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 讨论 【法Ⅰ】 利用不等式 例2(1)已证 【法Ⅱ】反证法 8项 4项 2项 2项项 由性质4推论,调和级数发散. 【法Ⅲ】用性质4推论证：讨论加括号后的级数 ( 每个括号中各项分母均换为最后一项的分母 ) 【法Ⅳ】用定积分的几何意义证明 考察曲线 所围曲边梯形面积S与阴影表示的阶梯形面积An