平面解析几何中的对称问题.doc

平面解析几何中的对称问题 李新林 汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。 一、点点对称 定理1　平面上一点关于点的对称点为， 特别地，点关于点的对称点为。 证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有： ，即 ，故。 例１　若点关于点的对称点为，求点的坐标。 解：设，由定理１有，即。 二、点线对称 定理1　平面上一点关于直线的对称点为： 。 证明：先证明一般情况，即的情况。 Y 如图（一）,设，线段交直线于点 ，由点与点关于直线 对称，故为线段的中点且， X 于是有： 且， 又点在直线上，故有： ， 解此二元一次方程组得： ， 即。 至于与的情况比较简单，证明略。 特别地，有如下几种特殊情况： 平面上一点关于轴的对称点为：； 平面上一点关于轴的对称点为：； 平面上一点关于直线的对称点为：； 平面上一点关于直线的对称点为：； （5）　平面上一点关于直线的对称点为：； （6） 平面上一点关于直线的对称点为：； （7） 平面上一点关于直线的对称点为：； （8） 平面上一点关于直线的对称点为： 特别地，点关于点的对称点为。 若直线与椭圆 有公共点，则有： 证明：由 可令， 代入得： 整理得： 即： ，（其中为辅助角） 又 , 即： 特别地，当时，有 推论1 若直线与椭圆有公共点，则有： 对于定理1，若令，则有 定理2 若直线与圆有公共点，则有：，整理得 特别地，当时，有 推论2 若直线与圆有公共点， 则有： 下面略举数例说明其应用。 求点到直线的距离 例１ 求点到直线的距离。 解：设点到直线的距离为，构造以点 为圆心，为半径的动圆，显然，当直线 与动圆有公共点时， 点到直线的距离为半径的最小值， 即，由定理2知：，即：， 故 即点到直线的距离为 此即平面解析几何中点到直线的距离公式。 求最值、函数的值域 例１ 若且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． （1990年全国高考试题） 解：设，得直线，由定理１得，解得：、 ，即，故选（D） 例２ 求函数的值域。 解：设，，代入得： 整理得，又 关于的直线与关于的圆有公共点。 由推论2得： 解得： 即所求函数的值域为。 例３ 已知平面上两定点，为圆上任 一点，求的最大值与最小值。 解：依题意有 ① 又由得，代入①得： 令，有，即 关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得：解得： 故的最大值与最小值分别为。 例４ 已知椭圆，求的最大值。 解：令，整理得 关于的直线与椭圆有公共点。 由推论１得：，解得： 故的最大值为１。 例５ （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数，使得实数满足： 解：由得： ① 又，代入①得：，即 关于的直线与关于的圆有公共点。 由推论２得： 解得：，即： 故最大的实数为。 求代数式的范围 例１ 若，且恒成立，求的取值范围。 解：由已知得，设，得直线， 由定理２得：，解得：，即, 即,又， 故。 例２　已知，求的取值范围。 解：由可得 ① 令，，代入①得： 又令，将，代入得： 即 关于的直线与关于的圆有公共点， 由推论２得： 解得：，即 例３　若，且，（） 求的范围。 解：令，代入 并化简得：，即 又令，则有，即 关于的直线与关于的圆有公共点， 由定理２得：，解得 即 例４ 设满足方程组 ，若，试求的取值范围。 （1986年全国高中数学联赛试题） 解：由②—①得：，即， 由①+②得： 关于的直线与关于的圆有公共点。 由推论２得： 解得： 故的取值范围