11-1常数项级数的基本和性质概论.ppt

无穷级数 数项级数 幂级数 常数项级数的 基本概念和性质 二 、收敛级数的性质 一、常数项级数的概念 第十一章 第一节 引例1 一、常数项级数的概念 1. 引例 引例2 一般项： 级数的和 2. 定义 给定数列 无穷级数: 部分和： 无穷级数收敛： 记作 级数的余项： 无穷级数发散 ： 级数收敛时， 例1 (几何级数) 1) 若 知 故级数收敛 , 知 则部分和 故级数发散 . 其和为 证明等比级数 当 时收敛, 当 时发散 . 证 2) 若 级数发散 ; n 为奇数 n 为偶数 结论： 时收敛, 时发散 . 则 级数为 不存在 , 等比级数 等比 级数 因此级数发散. 拆项相消 解 所以级数发散. 例2 判别级数 的敛散性. 部分和 证(方法1) 例3 发散. 1 2 n n+1 un (方法2) x y o (方法3) (方法4) 见后面. 二、收敛级数的性质 性质1 若 收敛 , 证 令 则 收敛 , 其和为 c S . 推论1 其和为 c S. 收敛，则 故 敛散性相同 . 性质2 设收敛级数 则 也收敛, 其和为 注 的敛散性规律： 收收为收， 收发为发， 发发不一定发. 例如, 1o 收敛级数可逐项相加( 减 ). 2o 性质3 级数前面加上 不影响级数的敛散性. 证 去掉前 k 项, 的部分 数敛散性相同. 收敛时, 其和 故新旧级 新级数 同敛散， 有限项不影响 级数的敛散性 （去掉、或修改）有限项, 和为 性质4 收敛级数加括弧后 原级数的和. 证 设 收敛，任意加括弧, 所成的级数仍收敛于 推论2 若加括弧后的级数发散, 但 例如， 则原级数必发散. 用反证法 注 ？ 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 例3 的敛散性. 解(方法4) … 例4 判断级数的敛散性 解 加括号级数为 故加括号级数发散, 从而原级数发散. 性质5（级数收敛的必要条件） 设 收敛，则 证 注 非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 发散， 故所给级数发散. 则级数 必发散 . 推论3 若 例5 (1) 解 (1) 故原级数发散. 小结: 收敛 发散 例6 判断敛散性, 若收敛求其和: 解 令 则 故级数发散. 例7 判断级数的敛散性： 解 原级数收敛, 其和为 3 . 内容小结 1. 无穷级数概念： 级数收敛、发散，部分和，余项 2. 两个常见级数的敛散性： (1) 等比级数 (2) 调和级数 3. 级数性质： (1) 敛散性相同 (2) 收敛级数可以逐项相加， (3) 级数加 不影响其敛散性. （去或改）有限项, (4) 收敛级数加括弧后 仍收敛于原级数的和. (5) 级数收敛的必要条件: 一般项的极限为零 运行时点击 “刘徽割圆术” , 或刘徽按钮 , 可放映刘徽简介