第四章 谐振子课题.ppt

4.1 微分方程的幂级数解 4.1 微分方程的幂级数 4.1 微分方程的幂级数 4.1 微分方程的幂级数 4.1 微分方程的幂级数 4.1 微分方程的幂级数 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 4.2 一维谐振子 * 第四章 谐振子 辅助方程 当辅助方程的根是纯虚数时，得到的三角函数形式的解： 4.1 微分方程的幂级数解 两和的正弦公式用幂级数法解（4.1），假设解可在附近用台劳级数展开，即 将（4.4）微分，得， 将（4.4）和（4.6）代入（4.1），得， 合并（4.7）中的两个和，可将（4.8）用于（4.7），所以需将（4.7）中第一项的求 和指标做一次变换，令因为求和指标是哑变量，所以用什么字母来表示此变量并无什么不同。将（4.10）代入（4.7）中，在求和得， 若（4.13）对所有的 值是正确的，那么每一幂次的 的系数必为零。如，在（4.14）中假设，则表明。取（4.14）对 的一阶导数，然后使，则表明。取 阶导数，并使，则。于是由（4.13），有像（4.16）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知的值，可求。若知，可求。因为对一和的值无限制，它们是任意的常数，可令 代入到（4.16），求得系数 于是， （4.20）中的两个级数是对于与的台劳级数；因而与（4.2）一致，有经典力学的处理。有一质点为的粒子被一力引向原点，此力正比于离开原点的位移： 是作用于粒子的 分量。 由牛顿第二定律给出， 是时间。 可以看出（4.23）与（4.1）一样，有 （4.1）的解（4.3）如下， 于是（4.23）的解为， 振动频率 是，是力常数。 三维情况下，势能与力的分量有关， （4.26）式也是势能的定义。在一维中，有 对（4.27）积分，有 选，于是势能为 动能是 总能是， 量子力学处理。其哈密顿算符是 在乘以 后，薛定谔方程 为， 为解（4.34）我们需要一个代换，即 将（4.35）和（4.36）代入（4.34）中，得 现在对试以级数解， 将（4.38），（4.39）和（4.40）代入到（4.37）中，得 和（4.13）式一样，使的系数为零，有 这是所要求的两项和的递推关系式。（4.42）与（4.16）的形式一样，因此，知可计算；所以有两个任意的常数：和。若令，则将有只含的偶次幂的幂级数乘以指数因子的解：若,则将有只含的奇次幂的幂级数乘以指数因 子的解 ， 由薛定谔方程的通解， 可得，现在看是否有什么波函数的边界条件导致解的任何限制。为了看这两个无穷级数在大时的表现，我们需要检查每个级数的相继系数之比。在第二个级数中，和的系数之比，我们可令（4.42）式中的，假定对于大的值，级数中后面的那些项是占优势 的，我们看到在值大时（4.46）的比值：在（4.42）中，令，我们可求得对于大的，第一个级数中相继系数之比也是。 现在考虑对于函数 的幂级数展开。运用在此级数中与系数之比为 将保证 变为无穷大时 趋所以在解（4.45）中，每个无穷级数的相继系数之比， 与级数 在大时的情况一样的。若每个级数趋于象那样，于是（4.45）表明，对 于大的 ， 的行为如同 。当趋于无穷大时，波函数 将变为无穷大，而非平方可积。若能设法在一些有限项之后中段此级数，那么因子 式中的是任意有限次幂。 于零。为了得到这两个级数中的一个在有限项之后级数中断，递推关系式（4.42）中的系数对某一值必须为零，譬如说时。这使得都为零，以及（4.45）中的一个级数将有有限数目的项。在递推关系式（4.42）中，有一个量的值尚未确定，但可以调节它使为零，那就是能量。在（4.42）中令的系数为零，得， 而递推关系式（4.42）变为按（4.51）使能量量子化，则使得一个级数在有限项后中断。为了去掉（4.45）中另一个无穷级数，必须使任意常数乘之后等于零。这就剩下一波函数为乘以只含的偶次幂或奇次幂（分别依赖于是偶或奇）的有限幂级数。量子数必须是非负整数，以及有一系列相等间隔的能级。象箱中粒子那样，边界条件迫使能量量子化。能量最低的态叫做基态（或正常态）。谐振子基态能量不是零；此能量叫做零点能。这是双原