八年级数学下册 51 矩形(第2课时)例题选讲课件 (新版)浙教版.ppt

* 第5章 特殊平行四边形 5.1 矩形（第2课时） 矩形的判定 例1 如图，已知 ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形. 分析：要证四边形EFGH为矩形，而四边形EFGH的四个内角的构造方式相同，只要能证明其中一个是直角，就可以同理证得其余各角也为直角. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°， ∵AG，BG分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA=90°， ∴∠G=90°，同理∠GHE=90°，∠E=90°， ∴四边形EFGH为矩形. 注意点：矩形判定有多种方法，要结合具体条件选择最简单的证明，比如本题若用定义来证，要证两步，不如直接用判定定理更简单. 变式：已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC. （1）求证：CD=AN； （2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形. 答案：证明：（1）∵CN∥AB， ∴∠DAC=∠NCA. 在△AMD和△CMN中， ∵∠DAC=∠NCA，MA=MC，∠AMD=∠CMN（对顶角相等），∴△AMD≌△CMN（ASA）. ∴AD=CN，又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD=AN； （2）∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC. ∴MD=MC. ∵四边形ADCN是平行四边形. ∴AC=2MC，DN=2MD. ∴AC=DN， ∴四边形ADCN是矩形. 矩形的动点问题 例2 如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论. 分析：（1）可证它们都与OC相等；（2）由于易证∠ECF=90°，故要使四边形AECF是矩形，只需证它是平行四边形即可，而EO=FO，故只需AO=OC即可. 证明：（1）∵CE平分∠BCA，∴∠ACE=∠BCE. 又∵MN∥BC，∴∠BCE=∠OEC，∴∠ACE=∠OEC，∴EO=CO. 同理，FO=CO. ∴EO=FO； （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 证明：∵EO=FO，点O是AC的中点， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠GCF. ∴∠ACE+∠ACF= ×180°=90°，即∠ECF=90°. ∴四边形AECF是矩形. 注意点：点在运动的过程中，△OCE，△OCF始终是等腰三角形，△CEF始终是直角三角形，CO=EO=FO始终成立，这些变化过程中不变的结论是解题的关键. 矩形判定的应用 例3 木工师傅接受了制作一个窗框的任务，要求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检验一下是否是矩形，若你是小明，你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出你的检验方法. 解：方法一：量其中三个角看是不是直角； 方法二：量两组对边，看是否分别相等，并且有一个角是否是直角； 方法三：量两组对边，看是否分别相等，再量两条角线是否相等. 分析：要检验一个四边形是否是矩形，就是 按矩形的判定方法进行判定. 注意点：实际问题要建模为数学问题，再来解决 数学问题. 例1 如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH. 要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ） A. AB∥DC B. AB=DC C. AC⊥BD D. AC=BD 正答：C 错答：D 错因：由于审题不严，以为对角线相等的四边形是矩形，从而选D，导致错解. 事实上，要判断的是四边形EFGH，而不是四边形ABCD. 此外，对角线相等的四边形也不一定就是矩形. 连结BD，由中位线的知识可知，顺次连结四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH一定是平行四边形. 要使它为矩形，则只要有一个角为直角即可. 由平行线的性质，只要原来的对角线互相垂直即可. 例2 如图，M、N分别是 ABCD的边AD，BC的中点，且AD=2AB，BM与AN交于点P，CM与DN交于点Q. 求证：PMQN为矩形. 错答：连结MN. ∵在△ABM与△CDN中，AM= AD= BC=CN， ∠MAB=∠NCD，AB=CD，∴△ABM≌△CDN. ∴∠AMB=∠CND. 又∵AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM. ∴∠PMN=∠QNM. PM∥QN. 同理，PN∥MQ. ∴四边形PMQN为平行四边形. 又∵M是边AD的中点，∴∠PMQ=90°. ∴四边形PMQN是矩形. 正答：连结MN. ∵在△ABM与△C