高中数学,洛必达法则.doc

高中数学,洛必达法则 篇一：高考导数(洛必达法则) 第二部分：泰勒展开式 xx2x3 1.e?1???? 1!2!3! xxnxn?1?x??e,其中(0???1)； n!(n?1)! ?(?1) n?1 x2x3 ??2. ln(1?x)?x? 2!3!xnxn?11n?1n ?Rn,其中Rn?(?1)()； n!(n?1)!1??x x3x5 3.sinx?x??? 3!5!x2x4 4. cosx?1??? 2!4! ?(?1) k?1 x2k?1x2k?1k ?Rn，其中Rn?(?1)cos?x； (2k?1)!(2k?1)! 2k x2k?2kx?Rn 其中Rn?(?1)cos?x； (2k?2)!(2k)! ?(?1) k?1 第三部分：新课标高考命题趋势及方法 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易 让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了是洛必达法则. ”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就0 第四部分：洛必达法则及其解法 洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足： （1）limf(x)?limg(x)?0；（2）在U(a)内，f?(x)和g?(x)都存在，且g?(x)?0； x?a x?a （3）lim x?a f?(x)f(x)f?(x) ?A （A可为实数，也可以是??）.则lim?lim?A. x?ag(x)x?ag?(x)g?(x) alnxb ?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0. x?1x lnxk ?，求k的取值范围. （Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)? x?1x （2011新）例：已知函数f(x)? （Ⅰ）略解得a?1，b?1.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 lnx1lnxk1(k?1)(x2?1) ?，所以f(x)?(由（Ⅰ）知f(x)??)?(2lnx?). x?1xx?1x1?x2x (k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x 考虑函数h(x)?2lnx?. (x?0)，则h#39;(x)? x2xk(x2?1)?(x?1)2 (i)当k?0时，由h#39;(x)?知，当x?1时，h#39;(x)?0.因为h(1)?0， 2 x 所以当x?(0,1)时，h(x)?0，可得 1 ?h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0，可得 2 1?x 1lnxklnxk x?0x?1?h(x)?0f(x)?(?)?0f(x)??； ，从而当且时，，即 1?x2x?1xx?1x 11)时，(k?1)(x2?1)?2x?0，)（ii）当0?k?1时，由于当x?(1,故h(#39;)x0而h1故当x?(1,?，()0?，1?k1?k 1 ?h(x)?0，与题设矛盾. 时，h(x)?0，可得 1?x2 1 ?h(x)?0，与题设矛盾.（iii）当k?1时， h#39;(x)?0，而h(1)?0，故当x?(1,??)时，h(x)?0，可得 1?x2 综上可得，k的取值范围为(??，0]. 注：分三种情况讨论：①k?0；②0?k?1；③k?1不易想到.尤其是②0?k?1时，许多考生都停留在此 1 )更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即1?k lnxklnx1lnxk ?，即???， 便通过训练也很难提升. 当x?0，且x?1时，f(x)? x?1xx?1xx?1x xlnx1xlnx2xlnx2xlnx ????1g(x)??1，x?0，且x?1 也即k?，记22 x?1xx?11?x1?x 层面，举反例x?(1, 2(x2?1)lnx?2(1?x2)2(x2?1)1?x2 则g#39;(x)?=(lnx?2)， (1?x2)2(1?x2)2x?11?x21?4x(1?x2)2 记h(x)?lnx?2，则h#39;(x)?+=?0， 2222 x?1x(1+x)x(1+x) 从而h(x)在(0,??)上单调递增，且h(1)?0，因此当x?(0,1)时，h(x)?0，当x?(1,??)时，h(x)?0；当 x?(0,1)时，g#39;(x)?0，当