高中数学二面角.doc

高中数学二面角 篇一：高中数学之二面角求法 用公式法求二面角的平面角 大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ， ， ，二 面角 的平面角为 ，则有 ． 略证：如图， ， ，则 ．令 ， ．在 △ 中， ， ．同理， ， ．故 ． 又在△ 中， ，① 在△ 中， ． ② 由①，②得 ．证毕 同理可证，当 ， 中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）． 由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了 ， ， ，即可求平面角 ；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理． 例1已知正三棱锥侧面与底面的夹角为 ，任两侧面的夹角为? ，求证 ． 略证：如图2，设 为正棱锥， 构成三面角．又设 的平 面角为 ， 的平面角为 ， ． 由公式得: ，故 ． ①又 ，故 ．② 由①，②得 ． 例2 如图，在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 平面 ，求以 为棱的二面角 的大小（1994年上海高考题）． 略解： 构成三面角，令 ，则 ，cos?? ， 1 设 ， ， ， ．设 ， ， ， 由 又在 ， △ ， 中，由 ， ，知 ，得 ， ． ． 由公式得 ， ， ． 在 △ 中， ．令 ，则 ， ． 由公式得 ， ． ∴ ． 例3 如图,已知正三棱柱ABC?A1B1C1， 为的中点，（1）求证：AB1// 平 面BDC1；（2）若 ，求以 为棱的二面角 的大小．（1994年 上海高考题） 略解： 为三面角，连结 ，交 于 ．连结 ． DE? 1 2AB1?1?2BC1? ???DBE是等腰直角三角形． AB1?BC1?DE?BC1?? 令 ，则 ， ． 由 ，得 ． 2 即 ， ． ∴ ． C1 1 AC D例3图 数学测试题—空间角和距离 班姓名 一、选择题 1．a、b为异面直线，二面角M—l—N，a?M，b?N，如果二面角M—l—N的平面角 为?，则a，b所成的角为（ ） A．?B．??? C．?或???D．??? 2．在空间，如果x、y、z表示直线与平面，“若x?y，x?z，则y∥z”成立，那么x，y， （ ） z所分别表示的元素正确的是 A．x，y，z都是直线 B． x，y，z都是平面 C．x，y为平面，z为直线 D． x为直线，y，z为平面 3．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是 （ ） A．相等 B．互补 ? 9．球面上A、B两点的球面距离是?，过这两点的半径的夹角是60°，则这个球的体积为（ ） A．48? B．36? C．24? D．18? 10．已知A（1，1，1），B（－1，0 ，4），C（2 ，－2，3），则〈，〉的大小为（ ） A． ? 6 B． 5? 6 C． ? 3 D． 2? 3 11．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的 中点，若CD = 2AB = 4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为 （ ） A．900 C．600 B．450 D．30 C．相等或互补D．不能确定 ? 4．二面角M—l—N的平面角是60，直线a?平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N 所成的角的余弦值是 A． （ ） 12．由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四个正三角形面的12条中线能 形成数值不同的k个锐角，k的数值是 （ ） A．7B．6C．5 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧 面的交线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为__________. 14． 一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后 斜边两端点的距离等于_______. 15．如图，将两邻边长分别为a、b 的矩形， ? 4 B． 2 2 C． 4 D． 1 2 5. 正三棱柱ABC—A1B1C中，D是AB的中点， CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（）． A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱 锥，则 6．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D 与底面所