2013年高考数必考知识点13 空间线面位置关系的推理与证明.doc

2013年高考数学必考知识点13 空间线面位置关系的推理与证明 (2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平面ADE. 证明　(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1， CC1∩DE＝E， 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1FB1C1. 因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE. 本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问． 首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断．其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述． 必备知识 平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图． 解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行． 垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图． 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化． 必备方法 1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨． 此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD＝FAB＝90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；[来源:学*科*网Z*X*X*K] (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[来源:学*科*网] [审题视点] 　 　 [听课记录] [审题视点] 要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可． (1)证明　由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD. 又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形． (2)解　C、D、F、E四点共面．理由如下： 由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG. 由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面． 法二　由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz. (1)证明　设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得 A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)， D(0,