2013年高考数必考知识点9 等差、等比数列的基本问题.doc

2013年高考数学必考知识点9 等差、等比数列的基本问题 1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．58 B．88 C．143 D．176 B　[利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.]2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)． A．7 B．5 C．－5 D．－7D　[设数列{an}的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.]3．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4B　[在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，2a3＝10，a3＝5，又a4＝7，所求公差为2.]4．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析　S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)， a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)， q＝－1(舍去)或q＝. 答案　 本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大． (1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中． (2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键. 必备知识 等差数列的有关公式与性质 (1)an＋1－an＝d(nN*，d为常数)． (2)an＝a1＋(n－1)d. (3)Sn＝＝na1＋d. (4)2an＝an－1＋an＋1(nN*，n≥2)． (5)an＝am＋(n－m)d(n，mN*)； 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，qN*)； 等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列． 等比数列的有关公式与性质 (1)＝q(nN*，q为非零常数)． (2)an＝a1qn－1. (3)Sn＝＝(q≠1)． (4)a＝an－1an＋1(nN*，n≥2)． (5)an＝amqn－m； 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； 等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比数列． 必备方法 1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题． 3．等差、等比数列的判定与证明方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数){an}是等差数列；＝q(q为非零常数){an}是等比数列； (2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(nN*)?{an}是等差数列；a＝an·an＋2(nN*)?{an}是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数){an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数){an}是等比数列； (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数){an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0){an}是等比数列； (5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可． 等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】 (2011·江西)已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值． [审题视点] 　[来源:学科网ZXXK] 　[来源:学#科#网] [听课记录] [审题