2014届高三数《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第2讲数列求和及数列的综合应用.doc

第2讲　数列求和及数列的综合应用 【高考考情解读】　高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 1． 数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝. 常见的拆项公式： ①＝－； ②＝(－)； ③＝(－)； ④＝(－)． 2． 数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题. 考点一　分组转化求和法 例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3 ＝3n＋ln 3－1； 当n为奇数时，Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 综上所述，Sn＝ 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n2－3n－2，n＝1,2,3，… (1)求证：数列{an－2n}为等比数列； (2)设bn＝an·cos nπ，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明　∵a1＝S1＝2a1＋1－3×1－2， ∴a1＝4， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2an＋n2－3n－2－2an－1－(n－1)2＋3(n－1)＋2， 整理得an＝2an－1－2n＋4， ∴an－2n＝2[an－1－2(n－1)]， ∴＝2， ∴{an－2n}是以2为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)得a1－2×1＝4－2＝2，∴an－2n＝2n， ∴an＝2n＋2n. 当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝－a1＋a2－a3＋…＋an ＝－(2＋2×1)＋(22＋2×2)－(23＋2×3)＋(24＋2×4)＋…＋(2n＋2n) ＝(－2＋22－23＋…＋2n)＋2[(－1)＋2－3＋4＋…－(n－1)＋