2014届高考数大一轮复习(Word版题库含解析)5.1 平面向量的概念及线性运算.doc

5.1 平面向量的概念及线性运算 一、选择题已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是 A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=ab 答案 B 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“ab”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b. a∥b； 若ab，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案　A 3．设P是ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)． A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 解析　如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2P是AC的中点，＋＝0. 答案　B ．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)(a－2b)，则实数x的值为(　　) A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析 因为(a＋b)(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， 4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. D 5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∥，又与不平行， 四边形ABCD是梯形． 答案　C ．已知ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　)．A．2 B．3 C．4 D．5 解析　＋＋＝0，点M是ABC的重心， ＋＝3，m＝3. 答案　B 已知点O为ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则ABC的内角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由＋＋＝0得＋＝，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且CAO＝60°. 答案：A 二、填空题 已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________. 解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)，即＝2，于是＝2. 答案：2 ．给出下列命题： 向量的长度与向量的长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 解析　中，向量与为相反向量， 它们的长度相等，此命题正确． 中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误． 由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确． 由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误． 共线向量是方向相同或相反的向量，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误． 答案　3夹角为 ，且；则. 解析 答案 11．若M为ABC内一点，且满足＝＋，则ABM与ABC的面积之比为________． 解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)， ＝(1－λ)＋λ， λ＝， ＝. 12．若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则ABC的形状为________． 解析　(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋， －＝＝－， |＋|＝|－|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形． 答案　直角三角形 【点评】 本题采用的是等价转化法，将ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题 ．如图所示，ABC中，＝，DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)， ＝(a＋b)，＝(a＋b)． 1．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？ 　设a－tb＝λ(λR)，化简整理得a＋b＝0， a与b不共线，由平面向量基本定理有 故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上． ．如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量、、、、； (2)求证：B、E、F三点共线． ：(1)延长AD到G， 使＝， 连结BG、CG，得到ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)可知＝， 所以B、E