2014年高考数三轮复习难点突破教学案：难点12 新定义问题.doc

随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点． 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐． 纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨：1 以新课标内容为背景 以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决． 一、新定义集合 所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．例1．【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中、分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 二、新定义函数例2．【2013-2014学年高三上学期第一次月考】（12分）若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（ab），则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．[来源:] ①设g(x)＝x2－x+是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值; ②问是否存在常数a，b（a－2），使函数h(x)=是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由． 思路分析：①根据信息找到b所满足的等式即可求出b的值，一定要先判断函数在闭区间上的单调性；②先假设存在题目要求的常数，根据“四维光军”函数的特性去找到此常数能得到的结论，推出矛盾即可说明这样的常数是不存在的，这是一种逆向思维的题目，首先假设存在，由存在得出矛盾，则可知存在不成立． 即，解得，这与已知矛盾．………………………………………………………………12分 例3．【2013山东理16】定义“正对数”：，现有四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号） 思路分析：正确理解信息，结合所学的对数的相关知识解决问题． 点评：本题主要考查新定义问题，考查学生的创新意识及创新能力． （1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程（节选）． 点评：本题是由两个半椭圆复合而成的图形，关键在于“果圆”方程中的a，b，c的关系，结合等边三角形的性质，很快便能求出相应的a，b，c． 二、新定义数列 例5.【四川省邛崃市2014届高三第一次月考数学（理）试题】若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________. 例6．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项； （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和． 点评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，而所考查的还是课本中数列的基本知识． 1．2 定义新运算型 例7．【湖南省四校2014届高三上学期第三次联考数学（理）】 在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例8．对于直角坐标平面内的任意两点A(x，y)，B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱．给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；