pn阶初等交换群的pn1阶自同构的性质综述.docx

西南大学硕士学位论文中文摘要矿阶初等交换群的ｐｎ—ｌ阶自同构的性质综述基础数学专业硕士研究生关南星指导教师陈贵云教授摘要在群论中，除循环群外，一类简单的群就是初等交换ｐ．群，其结构是非常清楚的一类群．关于这类群的自同构的研究也早已经完成，它的自同构群也早已经知道．但是这类群有一个高阶自同构非常有趣，它的存在性可以通过有限域的理论得到证明，即对于一个矿阶的初等交换群，它的自同构就是佗维的一般线性群ＧＬ（ｎ，ｐ），该群一定存在一个矿一ｌ阶自同构．虽然这类自同构的存在性已经得到证明，但是它们究竞是怎样的形式？究竟如何作用于群的元素？却没有一般的规律．本文归纳综述这方面的知识，并试图通过有限域的理论给出该全部矿一１阶自同构的矩阵形式，以及它对群的元素的作用方式．作为例子，我们给出３４阶初等交换少群的全部８０阶自同构的矩阵形式，以及它们对群的元素的作用形成的非本原集．本文分成三节．第一节简要介绍自同构群的历史发展背景．第二节用交换群，向量空间和有限域的性质理论上综述一般线性群Ｇ己（礼，ｐ）中的矿一ｌ阶元的存在性和其矩阵的求法，并且给出了这个元素作用于矿阶初等交换群中元素上产生的非本原集的理论方法．第三节通过第二节的一般理论基础，用一个例子具体求出所要的矩阵和非本原集．关键词：有限域自同构非本原集作用Ｔｈｅ ｓｕｎｌｎｌａｒｙ ｏｆ ｐｒｏｐｅｒｔｉＶｅ ｏｆａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ ｐ“一１ ｏｆｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔａｒｙＡｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐ ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ ｐ“Ｍａｊｏｒ：Ｐｕｒｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ’Ｉ、ｕｔｏｒ：Ｐ ｒｏｆ．Ｇｕｉｙｕｎ ＣｈｅｎＡｕｔｈｏｌＩ：Ｎａｎｘｉｎｇ ＧｕａｎＡｂｓｔｒａｃｔＩｎ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ，ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｃｙｃｌｉｃ ｇｒｏｕｐ，ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｔｈｅｐｒｉｍａｒｙＡｂｅｌ ｐｇｒｏｕｐ，ｗｈｏｓｅ ｓｔｒｕｅｔｕｒｅ ｉｓ ｖｅ珂ｃｌｅａｒ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｉｓ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓｉｓ ａｌｒｅａｄｙｃｏｍｐｌｅｔｅ，ｉｔｓ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｇｒｏｕｐ ｉｓ ａ１８０ ａｌｒｅａｄｙ １（１１０Ｗｎ．Ｂｕｔ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐｈａｓａｎｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｏｆｈｉ醢ｏｒｄｅｒ，ｉｔｓｅ）（ｉｓｔｅｎｃｅｃａｎｂｅ ｐｒａｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅｔｈｅｏ搿ｏｆ缸ｉｔｅ丘ｅｌｄｓ．ＦｏｒａＪｌｅｌｅｍｅｎｔａ科Ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐ ｏｆ矿ｏｒｄｅｒ，ｉｔｓ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｉｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｄ ｈｎｅａｒ ｇｒｏｕｐ ｏｆｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ＧＬ（ｎ？ｐ）．Ｔｈｅｇｒｏｕｐ ｍｕｓｔ ｈ８Ｌｖｅａｐ”一１ｏｒｄｅｒａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．Ａｌｔｈｏｕ曲ｔｈｅｅ）（ｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈａｓ ｂｅｅｎｐｒｏｖｅｄ，ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ？Ｈａｗ ｄｏ ｔｈｅｖ ａｃｔｏｎｇｒｏｕｐｅｌｅｍｅｎｔｓ？Ｔｈｅｒｅ ｉｓｎｏｇｅｎｅｒａ｜ｒｕｌｅ．Ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ ｒｅｖｉｅｗｓ ｔｈｅ ｋｎｏＷｌｅｄｇｅ，ａｎｄ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ａｕｔｏｍｏｒｐ址ｓｍ ｏｆ矿一１ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆａｍａｔｒ主）ｃ｛ｍｄ ｇｒｏｕｐ ｅｌｅｍｅｎ七ｓ ｍｏｄｅ ｏｆ ａｃ七ｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ丘ｎｉｔｅ ６ｅｌｄ ｔｈｅｏｒ矿Ａｓａｎｅｘａｍｐｌｅｌ ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｏｒｉＩｅｒ ８０ ｏｆ ３４ ｏｒｄｅｒｅｌｅｍｅｎｔａ珂Ａｂｅｌｉａｎｐ—ｇｒｏｕｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆａｍａｔ西ｘ，ａｎｄ ｗｅ出ｓｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｐｒｉｍｉｔ｛ｖｅｅｌｅｍｅｎｔｓｅｔｆｏｍｉｎｇ ｂｙｔｈｅｉｒ ａｃｔｉｏｎｓｏｎｇｒｏｕｐ ｅｌｅｍｅｎｔｓ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｓ ｄｉｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏｔｈｒｅｅ ｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ矗ｒｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅｈｉｓｔｏｒｉｅ越ｂａｃ蚝ｒｏｕｎｄｏｆａｕｔｏｍｏ印ｈｉｓｍｇｒｏｕｐＴｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏ巧，８ｈａｗｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｕｔｏｍｏｒ—ｐｈｉｓｍ ｏｆｏｒｄｅｒ矿一１ｏｆａｎｅｌｅｍｅｎ乞ａｒｙ ＡｂｅＵａｎ ｇｒｏｕｐｏｆｏｒｄｅｒ矿，ａｎｄｍａｔｒｉ）（ｆｏｒ璐ｏｆ ｓｕｃｈ ｌ【ｉｎｄｓ ｏｆ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ａｌｓｏ乞ｈｅｍｅ也ｏｄｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｓｅｔｓ ｏｆｉｍｐ