6-1定积分的概念.ppt

内容小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 思考与练习 1. 用定积分表示下述极限 : 解 或 2. 如何用定积分表示下述极限 提示: 极限为 0 ! 解 1 2 , , , - n q q q L 代表小区间为 利用定义计算定积分 其长度 ) 1 ( 1 1 - = - = D - - q q q q x i i i i 备用题例1-1 分点为 设函数 在区间 ] 1 , 0 [ 上连续，且取正值 证 利用对数的性质得 例2-1 极限运算与 对数运算换序 故 将 ] 1 , 0 [ n 等分， 分点为 ) ( ln x f 在 ] 1 , 0 [ 上连续，故 ) ( ln x f 在 ] 1 , 0 [ 区间 上的积分和： 为 例2-2 用定积分表示下列极限: 解 利用 得 两端分别相加, 得 即 注 1° (小区间右端点) 2° 此时，将[ a, b] n等分， 则 有 可利用定积分求一些“和式数列”的极限. 取 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7. 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7. 第一节 一、问题的提出 二、 定积分的定义 五、 定积分的性质 定积分的概念 三、 定积分的几何意义 四、 可积的充分条件 第六章 一、问题的提出 1. 曲边梯形的面积 由曲线 及直线 围成 , 求其面积 A . 面积： a b x y O 解决的步骤 1)大化小 ： [a , b] 中任意插入 n –1 个分点: 用直线 n 个小曲边梯形; ，将曲边梯形分成 3) 近似和： 4) 取极限： 令 2) 常代变： 任取 第i个窄曲边梯形面积 底 高 2. 变速直线运动的路程 经过的路程 s. 1)大化小 ： 速度 n 小段 解决的步骤 将 分成 v变化， 公式失效 初等公式 3) 近似和： 4) 取极限： 方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 两问题的共性 2) 常代变： 二、定积分定义 任取 总趋于数 I , 则称 I 为 在 上的定积分, 即 记作 任意划分 1.定义6.1 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 积分和 符号说明 被积表达式 2. 几点说明 (1) 不行！ (2) 两个任意性： 划分的稠密性： 称 f (x) 在 区间[a, b]上可积. 定积分 与 有关 与积分变量用什么字母表示无关： 被积函数 积分区间 (4) 确定定积分的两个要素 a b x y O a b t y O “面积相同” 三、定积分的几何意义 （曲边梯形面积） （曲边梯形面积的负值） （各小面积的代数和） 四、可积的条件 可积的必要条件： 在[a, b]上有界 1. 必要条件 反例: 狄利克雷函数 在任何区间[a, b]上有界，但却不可积分. 2. 充分条件 定理1 定理2 且只有有限个 第一类间断点， 注 有界函数 f (x)的定积分是否存在以及定积分的值为多少与 f (x)在积分区间上有限个点处的值无关. 注 利用定义计算定积分 解 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 例1 例2 解 A 1 (存在) x y O 五、定积分的性质 (设定积分均存在) ( k 为常数) 规定 性质1 （线性性质） 例3 求 f (x). 解 分析 是一个确定的数. x y O 1 y = x （可加性） 性质2 性质3 （度量性） （区间长度） 性质4 则 则 （保序性） 推论 例4 比较积分大小： 解 则 （估值定理） 性质5 设 证 得 例5 估计 的值. 解 例6 解 性质6 (定积分中值定理） 则至少存在一点 使 证 由性质5 ， 由介值定理, 使 性质7 (定积分第二中值定理） 则至少存在一点 使 例7 解 由积分中值定理知, 有 使 例8 分析 证 例9 求时间段[0，T]内自由落体的平均速度. 解 已知自由落体速度为 故所求平均速度 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7. 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7.