★必修2 立体几何、平面解析几何.docx

必修2 立体与平面解析几何第1章 立体几何初步一、空间几何体1.棱柱、棱锥和棱台（多面体）（1）棱柱棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面（相互全等且平行的多边形）。多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面，均为平行四边形；相邻侧面的公共边，叫做侧棱，侧棱相互平行；侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线；两个底面的距离叫做棱柱的高；过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面（图1~4）。棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 图1 图2图3 图4棱柱：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（图5）。直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的侧棱长和高相等（图6）。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，侧面是矩形（图7）。平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行四面体（图8）。直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。也可以说底面为平行四边形的直四棱柱叫直平行六面体（图9）。 图5 图6 图7 图8 图9长方体：底面是矩形的直四棱柱（直平行六面体）叫做长方体。正方体：侧面与底面边长相等的正四棱柱叫做正方体。又叫正六面体、立方体。棱柱进化论：（2）棱锥棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。棱锥中的多边形叫做棱锥的底面；除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高；过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面（图10）。棱锥的性质：底面是多边形，侧面均为三角形，且有一个公共顶点。图10棱锥：底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形。正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做正棱锥的斜高。（图11/12）。正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高都相等；②顶点在底面内的射影在底面多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心）；③正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影（底面多边形内切圆半径）组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；④正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则。 图11 图12 图13 图14正四面体：侧棱与底面三角形边长相等的正三棱锥叫做正四面体。正四面体是最简单的正多面体（图13/14）。正四面体的性质：①侧面和底面是四个全等的等边三角形，所有侧棱和底面边长都相等；②重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心；③正四面体的对边相互垂直。（3）棱台棱台的定义：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面与底面之间的部分叫做棱台。两个平行的面分别叫做棱台的上底面和下底面；其余的面叫做棱台的侧面；侧面相交的线段叫做棱台的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点（图15）。棱台的性质：侧面均为梯形；所有侧棱的反向延长线交于一点。棱台：底面为三角形、四边形、五边形……的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台……正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，各等腰梯形的高叫做正棱台的斜高（图16）。 图15 图16正棱台的性质：①正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高都相等；②正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；③正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。（4）多面体多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2面体：有几个面（至少有4个面）就称为几面体，如三棱锥就是四面体，四个面都是全等的等边三角形的三棱锥是正四面体。正多面体：各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体叫做正多面体。正多面体只有正四面体、正六面体（食盐）、正八面体（明矾）、正十二面体（足球）、正二十面体五种（图17/18）。 图17 图182.圆柱、圆锥、圆台和球（旋转体）（1）圆柱：将矩形绕它的一边所在的直线（叫做旋转轴或轴）旋转一周形成的几何体叫做圆柱。垂直于轴的边旋