新待定系数法探讨.doc

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数学解题方法之待定系数法探讨 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“设, 的反函数,那么的值依次为  ▲  ”,解答此题,并不困难,只需先将化为反函数形式,与中对应项的系数加以比较后,就可得到关于的方程组,从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“与直线L:平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是  ▲  ”,解答此题,只需设定直线L’的方程为,将A(1,-4)代入即可得到k的值,从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。例如:“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则,代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是: (1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式; (2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组); (3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。 结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面四方面探讨待定系数法的应用:(1)待定系数法在函数问题中的应用;(2)待定系数法在圆锥曲线问题中的应用;(3)待定系数法在三角函数问题中的应用;(4)待定系数法在数列问题中的应用。 一、待定系数法在函数问题中的应用: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1. (2012年浙江省理4分)若将函数表示为 , 其中,,,…,为实数,则 ▲ . 【答案】10。 【考点】二项式定理,导数的应用。 【解析】 用二项式定理,由等式两边对应项系数相等得。 或对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用特殊元素法,令得:,即。 例2.(2012年山东省文4分)若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m, 且函数在上是增函数,则a= ▲ . 【答案】。 【考点】函数的增减性。 【解析】∵,∴。 当时, ∵,函数是增函数, ∴在[-1,2]上的最大值为,最小值为。 此时,它在上是减函数,与题设不符。 当时, ∵,函数是减函数, ∴在[-1,2]上的最大值为,最小值为。 此时,它在上是增函数,符合题意。 综上所述,满足条件的。  例3. (2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上, 其中.若, 则的值为 ▲ . 【答案】。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。 又∵,, ∴②。 联立①②,解得,。∴。 例4. (2012年全国大纲卷文12分)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)设有两个极值点,,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值. 【答案】解:(1)∵,∴ ① 当 时,,且仅当时。∴是增函数。 ②当 时,有两个根。列表如下: 的增减性 >0 增函数 < 减函数 >0 增函数 (2)由题设知,,是的两个根,∴,且。 ∴ 。 同理,。 ∴直线的解析式为。 设直线与轴的交点为,则,解得。 代入得 , ∵在轴上,∴, 解得,或或。 【考点】函数的单调性和极值,导数的应用。 【解析】(1)求出导函数,分区间讨论即可。 (2)由,是的两个根和(1)的结论,得,求出关于的表达式和关于的表达式,从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入,由其等于0,求出的值。 例5. (2012年全国课标卷文5分)设函数 (Ⅰ)求的单调区间 (Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x0时,,求k的最大值 【答案】解:(I) f(x)的的定义域为,。 若,则,∴在上单调递增。 若,则当时,;当时,,∴在上单调递减,在上单调递增。 (Ⅱ)∵a=1,∴。 ∴当x0时,,它等价于。 令,则。 由(I)知,函数在上单调递增。 ∵,,∴在上存在唯一的

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