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3 梁 单 元目 标:掌握用梁单元进行结构有限元分析的原理。 3.1 简单梁单元___直梁 3.1.1、节点位移与节点载荷 对图(a)直梁,根据结构和载荷情况,分为3段,每段为一个单元。单元之间和端点是节点。3个单元4个节点。 梁上任一节点处有2个位移分量:挠度 及转角 。 任一个节点 i 的位移用列阵表示为: 称为节点i的节点位移。 对应节点位移分量,梁上任一节点i的载荷也有2项:横向力 和弯矩 ,称为广义力。 称为节点i的节点载荷。 梁上若有分布载荷,可近似地等效到节点上。 任一个节点 i 的载荷用列阵表示为: 3.1.2、简单梁单元的单元特性 单元有2个节点,节点局部编号:i,j 。每节点有2个位移分量,单元共有4个位移分量——4个自由度; 单元节点位移分量: 分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l,弹性模量E,截面惯性矩为J。 称为单元e的单元节点位移列阵(向量)。 (1)单元的描述 结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力,称为单元节点力。每节点2个节点力分量:剪力q,弯矩m(分别与节点的2个位移分量对应)。 单元节点力分量: 称为单元e的单元节点力列阵(向量)。 注意: 如图所示,节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致。因此,节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同! 节点力是梁中的内力;节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。 (参见P5的11~15行) (2)单元特性研究 结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的,对于一个受力平衡的单元,一定的节点位移总是与一定节点力相联系,这个关系就是单元的弹性特性(刚度特性)。 下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵性质建立梁单元的特性 根据前面的分析,在弹性、小变形前提下,显然,单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系,用矩阵形式表示为: 简记为: 梁单元的刚度方程 上式中 称为单元刚度矩阵,其中每个元素都是常数。 方便起见,节点力和节点位移分量用新的符号表示,刚度方程为: 为了分析单元刚度矩阵元素的物理意义,上式中令: (这里1,2,3,4是单元自由度序号) 可见,某列刚度系数就是相应节点位移分量为1,其他位移分量皆为0时的所有节点力分量——单元刚度矩阵元素的物理意义 由刚度方程可得: 现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数: 设 则梁单元变形如右图: 按材料力学梁变形公式求节点力如下: 挠度: 转角: 联立解出: 再由梁单元的静力平衡条件得: 至此已求出刚度矩阵的第一列元素。 再设: 则梁单元变形如右图: 由刚度方程可得: 同理,由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素: 同样的方法可以解出其余2列元素,从而求出单元刚度矩阵: 显然,与弹簧和杆单元一样,该梁单元的刚度矩阵具有如下性质: 1)对称性; 2)奇异性; 3)主对角元素恒正。 刚度矩阵求得后,单元特性就完全确定。 (3)单元刚度方程的分块 采用矩阵分块方法和运算规则,对梁单元的刚度方程按节点进行分块。 单元节点力列阵分块 单元节点位移列阵分块 分块形式的单元刚度矩阵: 上述每一子块均为2×1子列阵。 每一子块均为2×2子矩阵 因此,单元刚度方程分块形式表示为: 上式按分块形式展开,得两个矢量方程(共4个代数方程): 上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结构的整体分析时更简洁。 3.1.3、离散结构的整体分析 设已知分块形式的各单元特性: 离散结构的各节点作为隔离体,分析其受力平衡。 单元节点力的反作用力 外载荷 单元节点力 单元节点力 以节点2为例,分析其受力与平衡。 节点2的受力分为两类: 1)外载荷: 2)单元(1)和(2)上节点力的反作用力: 由节点2的静力平衡条件得: 单元节点力的反作用力 外载荷 单元节点力 单元节点力 节点2的外载荷等于节点2对其所有相连单元的节点力之和! 也就是节点2所受外载荷 要分配到相连的单元上。 由前面给出的单元(1)、(2)分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程: 同理,由节点3的平衡可得: 由节点1、4的平衡得: 将上面4个节点的平衡方程合并,写成矩阵形式得: (请同学们课后练习) 上式简写为: —— 结构节点位移列阵( 8 ×1) —— 结构节点载荷列阵( 8 ×1) —— 结构总刚度矩阵(8 ×8) —— 结构有限元平衡方程 显然,结构总刚度矩
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