新概率习题4.ppt

* 习题课 参 数 估 计 三、补充练习 一、内容小结 二、典例分析 一、内容小结 1. 基本概念 总体X，样本(X1,X2,…,Xn)，样本容量，简单随机样本， 2. 常用统计量的分布 样本值(x1,x2,…,xn) ，统计量g(X1,X2,…,Xn) 样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩,样本k阶中心矩 ①三大统计分布 设总体 X～N(0,1), (X1,X2，…Xn)为样本,则 3 设U~ ?2(n1), V~?2(n2),且U与V相互独立,则称随机变量 ②单个正态总体 设总体 X～N(?，?2), (X1,X2，…Xn)为样本, 则 ③两个正态总体 设总体X～N(?1,?12),Y ～?2,?22), 且X与Y相互独立, (X1 ,X2，…Xn1), (Y1 ,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则 1 一般情况时有 3 3. 主要估计方法 矩估计：将要估计的总体参数?表示成总体X的矩的函数，然 后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。 区间估计： 极大似然估计： 当我们用样本值估计总体的参数时，应使得当参数 取这些值时，所观测到的样本值出现的概率为最大。 从已知条件出发，求得一个含有待估参数θ的、分布为已知 （分布与θ无关）的样本函数Z=Z(X1,X2,…,Xn,?)，然后根据 Z分布的（双侧）α分位点，即可求得?的( 1-?)的置信区间。 2 当?12= ?22时 4. 上?分位点及双侧?分位点 当n 45时，有近似公式： 如若Y服从 如图，则 ？ ？ 查表练习： t-分布、F-分布与此类似！ 一旦r.vX的分布为已知，那么X的取值就必定以一定的概率落在一些特定区间内。 二、典例分析 例1 设总体X的概率密度为 解: 1) ?的矩估计量. 其中?-1是未知参数,X1,X2,…Xn是来自X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量. 1）建立待估参数 ? 与总体的矩之间的关系式； 2）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到?的 估计量。 3）代入样本值得到?的估计值。 由于总体X的数学期望为 令其等于样本均值 即 解得未知参数?的矩估计量为 2) ?的极大似然估计量. 设(x1,…xn)是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值,则参数?的似然函数为 时,恒有L(?)0,故 因此,似然方程为 解之,得?的极大似然估计值, 从而得?的极大似然估计量为, (4) 在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数的极大似然估计量. (2) 由总体分布导出似然函数L(θ);（其中θ为自变量， x1 , x2 ,…,xn 是已知常数）,似然函数为分布律 (或概率密度)乘积; (3) 求似然函数L(θ)的最大值点(常转化为求ln L(θ)的最大值点); (1)设（x1 , x2 ,…，xn)为样本(X1,X2,… ,Xn)的一个观察值； 练习：设总体X的概率密度为 P133T9（3） 其中?0是未知参数,?0是已知常数,试根据来自总体X的 简单随机样本X1,X2,…Xn,求?的极大似然估计量. 解: 对数似然函数 令 解得?的极大似然估计值 设(x1,…xn)是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值,则 似然函数 故 ?的极大似然估计量 例2：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查26个年回收利润率(%),得样本标准差S=15(%),设回收利润率为正态分布,求它的方差的区间估计(置信度为0.95） 解： 查自由度为26-1=25的?2分布表得： 于是得?2的置信度为0.95的置信区间为 将S2=152, n=25代入得方差?2的置信度为0.95的区间估计为 (138.39,428.73),若要求标准差? 的置信度为0.95的区间估计为 由 ① 从已知条件出发，寻求一个含有?（而不含有其 它未知参数）的样本函数,使得随机变量Z的分布 为已知的（最好是常用的）分布； ② 根据Z的分布的?分位点，解出?的置信区间 由于总体的均值未知，故选用r.v 例3 在一批货物的容量为100的样本中,经检验发现16个次品, 试求这批货物次品率的95%的置信区间. 则 μ=E(X)=p , 由独立同分布中心极限定理 分析: 设X1 ,X2 ,…,X100为容量100的样本 研究货物的次品率，故设总体 设p为货物次品率, p{X=1}=p, ①这是一个什么样的总体？服从什么分布？ ②要估计的是总体的什么参数？ 求总体参数 p 的 95%的置信区间. 代入得 解得次品率p的置信区间为(0.101,0.244) 关于p的