《空间图形的基本关系与公理》(北师大版必修2).ppt

已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关系： (1)点P与平面ABCD； (2)直线PC与AB，直线AB与CD； (3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD. [解析]　(1)点P在平面ABCD外． (2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行． (3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD有公共点P，所以两平面也是相交的. 点共线问题 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图，求证：P、Q、R三点共线． [思路分析]　方法一： [规范解答]　方法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. 由公理3知点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线． 方法二：∵AP∩AR＝A. ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又 ∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线． [规律总结]　证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确定一条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线． 多线共面问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [思路分析]　先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上． [规范解答]　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法一：(同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 证法二：(重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． [规律总结]　1.同一法证明直线共面的步骤： ①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α； ②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面． 2．重合法证明直线共面的步骤： ①证明这些直线确定若干个平面； ②利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面． 一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面． 已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a，b，c，l共面． [解析]　因为a∥b，所以a和b确定一个平面α. 因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα. 又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ. 即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面. 多线共点问题 如图所示，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b.若直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点． [思路分析]　直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)． [规范解答]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ. 由于直线a和b不平行，∴a，b必相交， 设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c， ∴P∈c，即交线c经过点P. ∴a，b，c三条直线相交于同一点． [规律总结]　证空间中三线共点有如下两种方法： 先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理3得该点在它们的交线上，从而得三线共点；或先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得三线共点． 等角定理的应用 [规律总结]　在平面几何中，证明角相等的方法主要有：计算角的大小，证明等腰三角形，证明相似三角形或全等三角形，利用平行线的性质等等，但解决的都是平面内两个角相等的问题，而用等角定理可以证明空间的两个角相等，证明时，先证明两个角的两边对应平行，再说