物理实验理论课第二讲.ppt

* 一、线性系统与非线性系统 1、线性系统与非线性系统 　?在数学中将 y=ax+b 称为线性函数，其它高于变量x的一次方的多项式函数和其它函数，都是非线性函数。 　?延伸至微分方程，凡变量和变量的导数（可以是n 阶导数）都是一次方的微分方程称为线性微分方程。 　?在物理中将能用线性微分方程或线性函数描述的系统称为线性系统，反之，称为非线性系统。 　如牛顿定律基本方程 ；麦克斯韦线性偏微分方程组；量子力学中的薛定谔方程等所描述的都是线性系统的物理问题。 §2-1 混 沌及其研究混沌的意义 第二讲 混 沌 时空对称性 　与确定论不同的是十九世纪后半叶逐步建立起来的概率论描述（随机性理论）。从方法上看概率论同样是深入研究自然规律，特别是复杂系统行为的必要方法，如1905年爱因斯坦用随机过程的概念预言了布朗运动基本特性。 2、科学中有两套描述自然规律的体系 确定论描述　　概率论描述 　确定论认为，只要给定初始条件，就能计算和预测结果，初始条件细小变化，只使运动状态发生微小变化。如 20世纪60年代以前，伽利略和牛顿创立的经典力学是确定论描述的典范，如天体运动得到一些很好的结果。 长期以来，人们认为确定论描述和概率论描述在认识论上是深刻对立的。 但实际的回答是否定的。 特别是 二十世纪60年代，通过对非线性现象（浅水波的稳定和保守性，保守系统中的随机运动的普遍性）的研究表明，确定论和概率论之间的界限并不是不可逾越的，对初值的细微变化的敏感，使得确定论系统长时间的行为必须借助于概率论方法。 在十九世纪和二十世纪之交，法国数学家庞加莱(H.Poincaré)发现，某些系统中任意小的不确定因素可能会产生复杂的运动，使决定论方程导致无法预测的结果（初值的敏感性）。 　在一个没有外来随机干扰的“确定论系统”中，同样存在着“随机行为”，其原因在于系统内部的非线性特性。 3、非线性问题的一般特征 ?非线性微分方程除极少部分外，一般没有解析解； 　?线性关系一般満足叠加原理，即每种因素是互不相干地独立贡献，而非线性关系则不満足叠加原理，各种因素相互交织，互相渗透； 　?非线性常常是引起系统行为突变的原因。对于线性系统的细小的偏离，往往不会引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，通过修正线性理论去描述。对于非线性系统则不能进行这种修正，而是在一定的积累后系统行为可能发生突变。 ?非线性科学研究的主要方面： 　一般认为混沌，分形，孤立波是非线性科学中不可缺少的部分。 二、混沌 “混沌”就是一个典型的非线性问题。 1、混沌 例如，单摆的运动微分方程为 在没有外界的随机干扰时，它的解是完全确定的，即为 式中A和?0是由初值条件确定的两个积分常数。 ?由系统的动力学特征决定，对于单摆 是确定论系统中所表现出的随机行为的总称。 它的根源是系统内的非线性相互作用。 对于上述的确定论系统，其对于初值条件的细微变化并不敏感。初值条件的细微变化，只是使上式中的A和?0值不同，而系统则依然作单摆运动，即其运动规律不会发生质的变化。 然而上述结论是有条件的，只有确定论系统本身并无任何非线性成份时，其解才是完全确定的。 若该系统虽然是确定论的，但内秉有非线性成份，例如，当摆角??50(即sin???），即使在受到确定性的激励时，也可能出现“随机”的响应，即显出混沌行为。 　一个确定论系统在确定性的激励下的响应一定是确定性的，只有当系统本身是随机的，或是在外来随机性的激励下，运动才是随机的。 庞加莱三体运动的混沌现象 希尔的三个简化： 1、三个天体中质量最小的对另外两个天体的影响可以忽略。 2、较大的两个天体围绕它们共同的质心作椭圆运动（两个天 体相对距离不变）。 3、三体在一个平面运动。 初始状态：将坐标系固定在两个较大的天体上，x轴与两者的连线平行，y轴垂直于连线，问题简化为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。 两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。 小天体的运动会是怎样的呢 在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。 （1）混沌的最显著特征是系统的行为对初值的细微变化极其敏感， 混沌现象是非线性系统在一定条件下的时间演化结果 即，在某些非线性系统中，解对初值的依赖特别敏感，任何微小的改变都会引起解的长期性质起变化。 2、混沌的一般特征 “蝴蝶效应”。 若要把这种系统的解长期